Demostrar que un mapa localmente contractivo es contractivo en un subconjunto abierto

Question

Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico y $f:X\to X$ un mapeo.

$f$ se llama $\textit{contractive}$ si existe un $\lambda \in [0,1)$ s.t. $d(f(x),f(y))\leq \lambda d(x,y)$ para todos $x,y\in X.$

$f$ se llama $\textit{locally contractive}$ si para cada $z\in X$ existe un $\lambda _z \in [0,1)$ y $\varepsilon_z>0$ s.t. $d(f(x),f(y))\leq \lambda_z d(x,y)$ para todos $x,y\in B(z,\varepsilon_z).$

Si $U$ es un subconjunto denso abierto de $X$ y $f$ es localmente contractiva en $U$ demuestre que existe un subconjunto abierto no vacío $W\subset U$ s.t. $f$ es contractiva en $W$ .

Answer 1

Desde $U$ es denso, es no vacío. Elige $z \in U$ y que $r > 0$ sea tal que $B(z,r) \subseteq U$ . Ahora $f$ es contractiva con la constante $\lambda_z$ en un subconjunto abierto no vacío $B(z,\min\{r, \varepsilon_z\}) \subseteq U$ .