las particiones son los elementos del monoide abeliano libre sobre $\aleph_0$ generadores

Question

Aunque la siguiente idea puede no ser particularmente profunda, siempre es de interés cuando vemos un isomorfismo canónico entre objetos de tipos aparentemente diferentes.

es un lugar común que el conjunto de particiones de un número natural $n$ están en correspondencia 1-1 con las clases de conjugación del grupo simétrico $S_n$ . lo que no he visto señalar (aunque sin duda se debe a mi escaso conocimiento de la literatura matemática) es el hecho de que el lugar natural donde se encuentran estas entidades -si incluimos la partición vacía para completar- es como elementos del monoide abeliano libre sobre $\aleph_0$ generadores.

si denotamos los generadores de este monoide por $\{x_n\}_{n=1,2,3...}$ entonces una partición de rango $k$ (lo que significa que exactamente $k$ números diferentes aparecen al menos una vez en la partición) tiene una representación única como elemento: $$ x = \sum_{j=1}^k a_j x_{b_j} $$ donde $a_j \ge 1$ y $i \lt j \rightarrow b_i \lt b_j$

es posible que la falta de atención a esta identificación evidente se deba a dos causas,

(a) razones históricas y la naturaleza poco sistemática y heurística del análisis combinatorio como rama de las matemáticas.

(b) que la identificación que se acaba de señalar no tiene ninguna aplicación evidente de calado.

pero siempre vale la pena buscar la claridad en la notación. así que mi pregunta es: si consideramos que una pala debe llamarse pala, ¿por qué no debería reconocerse un monoide abeliano libre por lo que es, y más teniendo en cuenta el gran servicio que nos prestan las particiones en muchas subdisciplinas de nuestra materia?

aunque esta cuestión se considere demasiado trivial para que merezca la pena estudiarla, sirve para introducir una notación que me será útil para formular una o dos consultas más que tengo sobre particiones. se agradecerá cualquier información útil relacionada con el tema.

gracias

Answer 1

No sé muy bien cuál es la pregunta, pero tienes razón al 100%. Tal y como yo lo veo:

Hay una categoría $\mathbf{CMon}$ de monoides conmutativos. El funtor de conjuntos subyacente $U:\mathbf{CMon} \rightarrow \mathbf{Set}$ tiene una unión a la izquierda $F:\mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{CMon}$ . Escriba a $\varepsilon$ para el condado de la unión $F \dashv U.$ Ahora observe que para cualquier monoide conmutativo $A$ obtenemos un homomorfismo $\varepsilon_A : FUA \rightarrow A$ . Esto nos permite definir que a partición de $a \in A$ es sólo un elemento de $\varepsilon^{-1}_A(a)$ . Recuperamos la definición habitual tomando $A$ para denotar el monoide conmutativo $(\mathbb{N},+,0)$ . Pero, de hecho, podemos hablar de las particiones de los elementos de cualquier monoide conmutativo.

De acuerdo. ¿Qué pasa si reemplazamos $\mathbf{CMon}$ por $\mathbf{Mon}$ ? Si lo piensas, verás que en su lugar obtenemos la noción de un composición de un número natural.

En general (esta es mi propia terminología), si $A$ es un objeto de una categoría concreta cuyo functor de conjuntos subyacente $U$ tiene un adjunto izquierdo $F$ entonces por a dispersión de $a \in A,$ Me refiero a un elemento de $\varepsilon^{-1}_A(a)$ donde $\varepsilon$ es el límite de $F \dashv U$ . Por supuesto, esto depende sensiblemente de la categoría concreta que estemos considerando la estructura $X$ como objeto de. Esto se vio en el párrafo anterior, donde la noción de dispersión de $n \in \mathbb{N}$ significa una cosa (a saber, una partición) si $\mathbb{N}$ se considera un monoide conmutativo, y otra cosa (es decir, una composición) si se considera un monoide (ordinario).

Espero que le haya sido útil :)