Cómo encontrar los generadores para $y^2 = x^3 + 5x$

Question

Este es un problema (3.9b en pág. 113) de "Rational Points on Elliptic Curves 2nd Edition" de Silverman y Tate.

Sea $C : y^2 = x^3 + 5x$ y $\overline{C} : y^2 = x^3 -20x $ . Sea $\Gamma = C(\mathbb{Q})$ y $\overline{\Gamma} = \overline{C}(\mathbb{Q})$ . En el libro de texto, definen los homomorfismos $\alpha : \Gamma\to \mathbb{Q}^*/{\mathbb{Q}^*}^2$ y $\overline{\alpha}: \overline{\Gamma}\to \mathbb{Q}^*/{\mathbb{Q}^*}^2$ por:

$$ \alpha((x,y)) = x \mod{{\mathbb{Q}^*}^2} $$ $$ \alpha((0,0)) = 5 \mod{{\mathbb{Q}^*}^2} $$ $$ \overline{\alpha}((x,y)) = x \mod{{\mathbb{Q}^*}^2} $$ $$ \overline{\alpha}((0,0)) = -20 \mod{{\mathbb{Q}^*}^2} $$ La metodología presentada en el libro nos dice que el rango $r$ de $C$ es igual a: $$ 2^r = \frac{\left|\alpha(\Gamma)\right|\left|\overline{\alpha}(\overline{\Gamma})\right|}{4} $$ Lo he descubierto: $$ \alpha(\Gamma) = \{ 1,5 \} \subset \mathbb{Q}^*/{\mathbb{Q}^*}^2 $$ $$ \overline{\alpha}(\overline{\Gamma}) = \{ \pm 1, \pm 5 \} \subset \mathbb{Q}^*/{\mathbb{Q}^*}^2 $$ Por lo tanto, el rango de $C$ es $1$ . Ahora, para la segunda parte del problema nos pide encontrar generadores para $C(\mathbb{Q})/2C(\mathbb{Q})$ .

$$ C(\mathbb{Q}) = \mathbb{Z}\times (\text{torsion subgroup}) $$ $$ C(\mathbb{Q})/2C(\mathbb{Q}) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times (\text{half of torsion subgroup}) $$

Los generadores para "la mitad del subgrupo de torsión" son fáciles de encontrar a través de Nagell-Lutz. Me preguntaba cómo puedo encontrar un generador para $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ para terminar la pregunta.

Answer 1

Acabo de descubrirlo. Haré referencia a la notación y los resultados en el libro sin entrar en demasiados detalles. Pero para cualquiera que lea el libro, espero que esta respuesta sea útil. Siguiendo la notación del libro, hay homomorfismos $\psi : \overline{\Gamma} \to \Gamma$ y $\phi: \Gamma \to \overline{\Gamma}$ tal que: $$ \psi(\phi(\Gamma)) = 2\Gamma $$ Por un resultado en el libro, sabemos que $\ker(\alpha) =\psi(\overline{\Gamma})$ . Por lo tanto, simplemente tenemos que encontrar un elemento $(x,y)\in \Gamma$ con orden infinito tal que $\alpha((x,y))\neq 1$ . En otras palabras, esto garantizará que $(x,y)\notin 2\Gamma$ y, por tanto, será el elemento distinto de cero en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .

Explícitamente:

Utilizando el método desarrollado en el capítulo 3.6, sabemos que $5\in \alpha(\Gamma)$ si y sólo si existe una solución en $M,e,N$ con $e > 0$ , $M\neq 0$ a la ecuación $N^2 = 5M^4 + e^4$ y además $$ (x_0,y_0) = \left( 5 \cdot\frac{M^2}{e^2}, 5\cdot \frac{MN}{e^3} \right) $$ será un punto afín de la curva $C$ satisfaciendo $\alpha((x_0,y_0)) = 5$ . Así, con un poco de suerte, encontré que $M=2,N=9,e=1$ funciona, y por lo tanto tenemos un candidato $$ \left( 20,90 \right) \notin 2\Gamma $$ Basta comprobar que este elemento tiene orden infinito, lo que es fácil tomando el doble del punto y comprobando que sus coeficientes son no enteros.