Sea $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ sea una función continua. Definamos el conjunto $E:=\{x\in [a,b]:f(x)=g(x)\}$ . Demostrar que si $\{x_n\}$ es cualquier secuencia en $E$ y $x_n\to x$ entonces $x\in E$ .
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Andy
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Le sugiero que demuestre la afirmación más general de que si $h$ es una función continua, entonces $h^{-1}(A) := \{ x : h(x) \in A \}$ está cerrado si $A$ está cerrado. Una forma de demostrarlo es empezar por demostrar que $h^{-1}(B)$ está abierto si $B$ está abierto y, a continuación, compruebe que $h^{-1}(B^c)=(h^{-1}(B))^c$ . (Esta última afirmación no tiene nada que ver con el análisis o la topología, es sólo una afirmación sobre conjuntos).
Aplique ahora esta afirmación con $h=f-g$ y $A=\{ 0 \}$ .
Pelto
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506
Supongamos que $\{x_n\}$ es una secuencia en $E$ tal que $x_n \to x$ como $n \to \infty$ .
Sea $\varepsilon>0$ se dará. Dado que $f$ y $g$ son continuas en $x$ hay números positivos $\delta_1$ y $\delta_2$ para que \begin{equation}|f(y)-f(x)|<\varepsilon/3 \, \text{ whenever } \, |y-x|<\delta_1 \, , \end{equation} \begin{equation}|g(y)-g(x)|<\varepsilon/3 \, \text{ whenever } \, |y-x|<\delta_2 \, . \end{equation}
Fijamos $\delta= \min \{\delta_1, \delta_2 \}$ y elija $N \in \mathbb{N}$ para que $|x_n-x|<\delta$ siempre que $n \geq N$ . Así, para todos $n \geq N$ tenemos que \begin{equation}|f(x)-g(x)| \leq |f(x)-f(x_n)|+|f(x_n)-g(x_n)|+|g(x_n)-g(x)|<\varepsilon \, . \end{equation}
Desde $\varepsilon$ era un número positivo arbitrario ahora se deduce que $f(x)=g(x)$ y, por tanto $x \in E$ .
