Generalización de un problema de urna monocromática con múltiples jugadores

Question

Hay una urna con bolas de un color. Saco una bola de esta urna y la vuelvo a meter. Alguien entra y saca $m_0$ bolas sin reemplazo, cuando termina, vuelve a meter las bolas que sacó en la urna, entonces entra otra persona y saca $m_1$ veces. Sacar una bola que nadie más ha sacado me da un valor de x, si saco la misma bola que otra persona entonces todos tenemos la misma probabilidad de conseguir ese objeto basado en el azar pero sólo uno de nosotros lo conseguirá.

Sea $C_i$ es el caso de que saque la misma bola que el jugador i
Sea a el número de bolas.

Mi valor esperado de este juego es entonces: \begin{align} E = P(C_0 \cap C_1) \frac{1}{3}x + P(C_0 \cap \overline{C_1})\frac{1}{2}x+P(\overline{C_0} \cap C_1)\frac{1}{2}x + P(\overline{C_0} \cap \overline{C_1})x \\ =x (\frac{m_0}{a}\frac{m_1}{a} \frac{1}{3} + \frac{m_0}{a}(1-\frac{m_1}{a})\frac{1}{2} + (1-\frac{m_0}{a})\frac{m_1}{a}\frac{1}{2} + (1-\frac{m_0}{a})(1-\frac{m_1}{a}) ) \\ =x (\frac{m_0 m_1}{a^2} \frac{1}{3} + \frac{m_0-m_0 m_1}{a^2} \frac{1}{2} + \frac{m_1-m_0 m_1}{a^2} \frac{1}{2} + 1 -\frac{m_0}{a}-\frac{m_1}{a} + \frac{m_0m_1}{a} ) \\ =x (\frac{m_0 m_1}{a^2} \frac{1}{3} + \frac{m_0+m_1 }{a^2} +1 - \frac{m_1+m_0 }{a} ) \\ =x (\frac{m_0 m_1}{a^2} \frac{1}{3} + \frac{m_0+m_1 }{a^2}(1-a) +1 ) \end{align}

Preguntas: ¿Cómo generalizo el valor esperado para n jugadores teniendo cada jugador un número determinado de posibilidades? Trivialmente, si hay n jugadores, el número de posibilidades es $2^{n}$ .

Si también hay una forma mejor de enmarcar el problema que un problema de urna, también me interesa.

Edición: Quizá una forma más útil de expresar las probabilidades sea: Sea $t_0$ sea el caso de que ninguna otra persona saque la misma bola y $t_k$ el caso de que k otros jugadores saquen el balón.
Así que el valor esperado es ahora:

$$E = \sum_{j=0}^n P(t_j)\frac{x}{j+1}$$

edit2: Para las 2 primeras probabilidades:

$$P(t_0) = \prod_{i=0}^n(1-\frac{m_i}{a}) $$

$$P(t_1) = \sum_{j=0}^{n} \left[\prod_{i\neq j}^n(1-\frac{m_i}{a})\frac{m_j}{a} \right]=\sum^n_{j=0} \prod^{j-1}_{i=0} \left(1-\frac{m_i}{a} \right)\prod^n_{k=j+1} \left(1-\frac{m_k}{a} \right)\frac{m_{j}}{a} $$

Answer 1

Vale, creo que ya tengo la formulación general. Agradecería si alguien puede ver si esto es correcto o encontrar una mejor manera de expresar esto.

$$P(t_2) = \sum^{n-1}_{j_1 = 0} \left[\sum^n_{j_2= j_1+1}\prod^n_{i \neq j_1 \neq j_2 }\left(1-\frac{m_i}{a}\right)\frac{m_{j_1}}{a} \times \frac{m_{j_1+1}}{a} \right] $$

$$P(t_k) = \sum^{n-k+1}_{j = 0}\sum^{n-k+2}_{j +1}...\sum^{n-1}_{j +k-2}\sum^{n}_{j +k-1}\left[\prod^n_{i \neq j \neq j+1...\neq j +k-1 }\left(1-\frac{m_i}{a}\right) \right] \prod^{j+k-1}_{q = j}\left(\frac{m_q}{a} \right) $$