Encuentre valores de b para los que $f(x)=x^3+x^2+bx+6$ es creciente para todos los valores de $x$

Question

Para la función definida por $f(x)$ encuentre los valores de $b$ que da lugar a $f(x)$ creciente para todos los valores de $x$ .

He encontrado el derivado: $f'(x) = 3x^2+2x+b$ y sé que siempre debe ser igual a un valor mayor que 0, sólo que no sé cómo encontrar $b$ .

Answer 1

Pista. Reescriba la derivada como $$ f'(x) = 3x^2+2x+b=3\left(x^2+\frac 23x+\frac b 3 \right)=3\left(x+\frac 13\right)^2+ \frac {3b-1}3 $$ entonces basta con resolver $$ 3b-1\geq0.$$

Answer 2

Ibas por buen camino. Ahora restando $3x^2+2x$ de ambos lados, obtenemos $b > -3x^2-2x$ . Si encontramos el mínimo de la función de la izquierda, podemos obtener nuestro límite para $b$ . La derivada de $-3x^2-2x$ es $-6x-2 \implies -6x-2 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$ . Ahora sabemos que el límite es $b > 1/3$ .