Cómo encontrar este límite $\lim_{n\to\infty}a_{n}$

Question

deje $f(x)=x\ln{x} (x>0)$ , y $f_{1}(x)=f(x)$ y tal $f_{2}(x)=f(f_{1}(x)),f_{3}(x)=f(f_{2}(x)),\cdots,f_{n+1}(x)=f(f_{n}(x))$

Supongamos que la secuencia $\{a_{n}\}$ tal $f_{n}(a_{n})=1$

Encuentra el $$\lim_{n\to\infty}a_{n}$$

Mi intento: ya que

$$f_{2}(x)=f(f_{1}(x))=f(x\ln{x})=x\ln{x}\ln{(x\ln{x})}=x\ln^2{x}+x\ln{x}\ln{(\ln{x})}$$ $$f_{3}(x)=f(f_{2}(x))=f(x\ln^2{x}+x\ln{x}\ln{(\ln{x})})=[x\ln^2{x}+x\ln{x}\ln{(\ln{x})}]\ln{[x\ln^2{x}+x\ln{x}\ln{(\ln{x})}]}=\cdots\cdots$$ y no puedo trabajar, pero $$\lim_{n\to\infty}a_{n}=e?$$

Answer 1

$f(x)=x\ln(x)$ y $f'(x)=\ln(x)+1$ Así que $f$ es una función creciente de $[1,\infty)$ a $[0,\infty)$ . Tenga en cuenta que $f(e)=e$ y en $(1,\infty)$ , $f'(x)>1$ . (Por lo tanto $e$ es el único punto fijo posible).

Sea g definido en $[0,\infty)$ por $g(f(x))=x$ . $g$ es una función creciente de $[0,\infty)$ a $[1,\infty)$ . En $g=f^{-1}$ entonces $g(e)=e$ y en $(0,\infty)$ , $0<g'(x)<1$ . (Por lo tanto $e$ es el único punto fijo posible).

Y obviamente $x<g(x)<e$ en $(0,e)$ .

$a_n=g^n(1)$ . Así que para todos $n$ , $e>a_{n+1}>a_n$ Así que $a_n$ converge a un límite $L$ que debe satisfacer $L=g(L)$ Por lo tanto $L=e$ .

Answer 2

Considera $f: [1,\infty) \to [0,\infty), f(x)=x\ln x$ que va en aumento y $f'(x)=1+\ln x>1$ para cada $x >1$ .

$f_n(a_n)=1, f_n(a_{n+1})=f^{-1}(1)>1$ por lo que tenemos $a_{n+1}>a_n$ . $f_n(a_n)=1<e=f_n(e)$ así que $a_n <e$ . Por lo tanto $a_n$ es convergente y $a_n \to L \in (1,e]$ .

No es difícil ver que $f(a_{n+1})=a_n$ (porque $f_n$ es inyectiva).

Aplicar el teorema del valor medio a $[a_{n+1},e]$ para obtener $|a_{n}-e|=|f(a_{n+1})-f(e)| =|f'(x_n)| |a_{n+1}-e|$ con $x_n \in (a_{n+1},e)$ . En particular $x_n>a_1 \geq 1+\varepsilon$ para algunos $\varepsilon>0$ . Por lo tanto $|a_n-e| \geq (1+\varepsilon)|a_{n+1}-e|$ .

Esto da $\frac{|a_n-e|}{|a_{n+1}-e|} \geq 1+\varepsilon$ . Si $L \neq e$ no tenemos indeterminación, por lo que $n \to \infty$ obtenemos $1 \geq 1+\varepsilon$ . Contradicción. Por lo tanto $L=e$ .