¿Es el siguiente conjunto cerrado en $\mathbb R^2$ ?

Question

Es el siguiente conjunto

$S=$ { $(x,y):0<x<1;y=(\sin x)/x$ } está cerrado en $\mathbb R^2$ ?

El problema es que el teorema del grafo cerrado (de Munkres página 171, Ex 8) hace que la confusión acerca de la cerrazón. Apreciaré la respuesta que señala claramente la falacia, no simplemente indicando que no es cerrado como punto límite no en el conjunto.

Answer 1

No lo es, ya que $(0,1)$ es un punto límite de $S$ y $(0,1)\not\in S$ .

Es un punto límite ya que $$ \left(\frac{1}{n},\frac{\sin\big(\frac{1}{n}\big)}{\frac{1}{n}}\right)\in S, $$ y $$ \frac{\sin\big(\frac{1}{n}\big)}{\frac{1}{n}}=n\sin\big(\tfrac{1}{n}\big)\to 1, $$ como $n\to\infty$ .