condición suficiente para ser un factor integral

Question

Sea $ f: \mathbb {R}^m \rightarrow \mathbb {R}-\{0\} $ función $C^{\infty}$ clase y $w$ una forma $C^{\infty}$ clase en $\mathbb {R}^m $ .

Si $\alpha=w-\dfrac{1}{f}dx_{m+1} $ satisface $\alpha \wedge d\alpha= w \wedge dw$ entonces $d(fw)=0$

Nota: $\mathbb {R}^m \subseteq \mathbb {R}^{m+1}$ avec $x_{m+1}=0$ .

Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

Bueno, por un simple cálculo, $$ \alpha \wedge d\alpha = (\omega - f^{-1}dx^{m+1}) \wedge d (\omega - f^{-1}dx^{m+1})\\ = (\omega - f^{-1}dx^{m+1}) \wedge (d\omega + f^{-2} df \wedge dx^{m+1})\\ = \omega \wedge d \omega + \omega \wedge f^{-2}df \wedge dx^{m+1} - f^{-1}dx^{m+1} \wedge d\omega\\ = \omega \wedge d\omega - f^{-2} (df \wedge \omega \wedge dx^{m+1} + f d\omega \wedge dx^{m+1})\\ = \omega \wedge d\omega - f^{-2} d(f \omega ) \wedge dx^{m+1}. $$ Ahora, dado lo que sabes, ¿qué puedes concluir sobre $d(f\omega)$ ?