Consideremos el grafo plano formado por 2 vértices y ninguna arista. Tiene una cara y ninguna arista, por lo que su dual es el grafo trivial. Por otro lado, tiene dos vértices, por lo que su dual debería tener dos caras, pero el grafo trivial sólo tiene una cara.
¿Qué es lo que no entiendo/argumento?
No existe una correspondencia uno a uno entre las caras del dual y los vértices del grafo original en general: esto sólo es cierto cuando nuestro grafo original es conexo.
Para verlo, dejemos que e*= #aristas en el dual, f*= #caras en el dual, v*= #vértices en el dual, y e,f,v sean el número de aristas/caras/vértices respectivamente en nuestro grafo original. En general, vemos que e=e* y v*=f por definición.
Entonces, como todo grafo dual es a la vez plano y conexo, tenemos: v*-e*+f*=2 lo que implica que f*=2-v*+e*=2-f+e. Para que esto sea igual al número de vértices de nuestro grafo original, necesitaríamos: 2-f+e=v, es decir v-e+f=2, o para que nuestro grafo original fuera conexo. Como el grafo con dos vértices y ninguna arista no es conexo, no podemos hacer esta correspondencia.
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