Demostrar que si $A$ es normal, entonces los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son necesariamente ortogonales (prueba alternativa)

Question

El planteamiento del problema es el siguiente:

Demostrar que para una matriz normal $A$ los vectores propios correspondientes a diferentes valores propios son necesariamente ortogonales.

Puedo demostrarlo utilizando el teorema espectral. Lo esencial de mi demostración se presenta a continuación.

Si es posible, me gustaría encontrar una prueba más sencilla. Tenía la esperanza de que podría haber algún tipo de manipulación en este sentido señalando que $$\langle Av_1,A v_2\rangle = \langle v_1,A^*Av_2\rangle = \langle v_1,AA^*v_2\rangle = \langle A^* v_1,A^* v_2 \rangle$$

Agradecería cualquier idea al respecto.

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Mi prueba:

Sea $\{v_{\lambda,i}\}$ sea una base ortonormal de vectores propios (como garantiza el teorema espectral) tal que $$A v_{\lambda,i} = \lambda v_{\lambda,i}$$ Sea $v_1,\lambda_1$ y $v_2,\lambda_2$ sean pares propios con $\lambda_1 \neq \lambda_2$ . Podemos escribir $v_1 = \sum_{i,\lambda}a_{i,\lambda}v_{i,\lambda} .$ Entonces tenemos $$0 = Av_1 - \lambda_1 v_1 = \sum_{i,\lambda}(\lambda - \lambda_1)a_{i,\lambda}v_{i,\lambda}$$ De modo que $a_{i,\lambda} = 0$ cuando $\lambda \neq \lambda_1$ . Del mismo modo, podemos escribir $v_2 = \sum_{i,\lambda}b_{i,\lambda}v_{i,\lambda}$ y observe que $b_{i,\lambda} = 0$ cuando $\lambda \neq \lambda_2$ . A partir de ahí, tenemos $$\langle v_1,v_2 \rangle = \sum_{i,\lambda}a_{i,\lambda}b_{i,\lambda}$$ lo anterior debe ser cero ya que para cada par $i,\lambda$ o bien $a_{i,\lambda}=0$ o $b_{i,\lambda} = 0$ .

Answer 1

Una matriz normal es unitariamente similar a una matriz diagonal.

$$A = UDU^{-1}$$ donde $U$ es una matriz unitaria.

Las descomposiciones propias indican que $U$ es una matriz compuesta por columnas que son vectores propios de $A$ . Y matriz $D$ es una matriz diagonal con valores propios en la diagonal.

Propiedad : Las columnas de la matriz unitaria son ortogonales.

Así, las columnas de $U$ (que son vectores propios de $A$ ) son ortogonales.