Conjugado complejo de una función compleja

Question

¿Sólo sustituir el $i$ ( $=\sqrt{-1}$ ) por $-i$ en todas partes dar el conjugado complejo de cualquier número complejo de una función? ¿Será lo mismo que cambiar el signo de la parte imaginaria del valor complejo finalmente calculado?

Answer 1

Sea $f(z) = i z$ . Estás proponiendo escribir $$ g(z) = (-i) z $$ y esperando que sea el conjugado complejo de $f$ . Veámoslo por partes. Tenemos $$ f(a + bi) = i(a + bi) = ai -b = -b + ai\\ g(a + bi) = -ai + b = b - ai $$ Pero $\overline{-b + ai}$ es no $b - ai$ pero en realidad es $-b - ai$ .

Así que no, el enfoque que propones no funciona, ni siquiera para esta función tan sencilla.

Answer 2

Supongo que lo que quieres decir es: ¿Es $f(\overline z) = \overline {f(z)}$ para cada función $f$ y todo número complejo $z.$ Eso es falso. Por ejemplo, supongamos \begin{align} f(z)=i|z|. \\[8pt] \text{Then } f(i)= i|i| = i\cdot 1 & = i \\[4pt] \text{and } f(-i) = i\left|-i\right| = i\cdot1 & =i \ne -i. \end{align}

Sin embargo, si $f$ es diferenciable en su dominio y su dominio es un conjunto abierto en $\mathbb C$ y $f(z)$ es real siempre que $f$ es real, entonces $f(\overline z) = \overline {f(z)}$ para cada complejo $z.$