¿Necesitamos realmente probabilidades negativas en mecánica cuántica?

Question

Estaba leyendo este hilo y estoy un poco confuso. La respuesta dice que las probabilidades negativas pueden explicar la interferencia destructiva de las ondas y la anulación de los sucesos. Pero si los sucesos se anulan, ¿no debería ser cero la probabilidad? ¿Por qué iba a ser negativa?

Además, siempre he creído (posiblemente erróneamente) que en QM sólo obtenemos probabilidades negativas en el contexto de las "amplitudes de probabilidad", que no es más que un nombre elegante para las amplitudes de las funciones de onda. Pero siempre me ha parecido un poco raro hablar de amplitudes de probabilidad: si elevamos al cuadrado la función de onda normalizada y la tratamos como la FDP, como dice la regla de Born, todo es igual que en la probabilidad normal, ¿no? ¿Por qué pruebe ¿interpretar las propias amplitudes, y no sus cuadrados, como probabilidades?

¿Estoy equivocado en el párrafo anterior, y no siempre podemos obtener una PDF regular a partir de elevar al cuadrado la función de onda normalizada y en su lugar obtenemos a veces distribuciones de cuasiprobabilidad que permiten probabilidades negativas? O, ¿hay situaciones en las que necesitamos considerar las propias funciones de onda, en lugar de normalizarlas y elevarlas al cuadrado, para calcular correctamente alguna cantidad?

También vi este hilo y la primera respuesta básicamente dice que las matemáticas son mucho más sencillas si utilizamos amplitudes de probabilidad para explicar los patrones de interferencia. Entiendo que utilizar funciones de onda reales para describir el comportamiento ondulatorio de grupos de partículas, como en el experimento de la doble rendija, es más sencillo y, por tanto, preferible.

Pero no veo por qué es necesaria esta idea de "amplitudes de probabilidad" y probabilidad negativa. ¿Por qué no podemos llamar a las funciones de onda funciones de onda y dejar la cuestión de la probabilidad enteramente en manos de las PDF reales que obtenemos aplicando la regla de Born? ¿O PUEDEMOS hacer eso y llamar amplitudes de probabilidad a las amplitudes de las funciones de onda es sólo una forma de pensar en esas matemáticas? En otras palabras, ¿se trata sólo de una cuestión de lenguaje, de intentar o no introducir la etiqueta de la probabilidad en más de la teoría generalizando la definición de probabilidad, ¿o hay algo más?

Answer 1

No sólo no "necesitamos" probabilidades negativas en mecánica cuántica, sino que de hecho hay son no hay probabilidades negativas en QM. Todas las probabilidades son números reales entre 0 y 1 por definición.

La respuesta dice que las probabilidades negativas pueden explicar la interferencia destructiva de las ondas y la anulación de los sucesos.

Eso es incorrecto. Probabilidad amplitudes puede ser negativa y puede experimentar una interferencia de onda destructiva, pero las probabilidades no. Las amplitudes probabilísticas no son probabilidades.

Mi interpretación (posiblemente incorrecta) siempre ha sido que en QM sólo obtenemos probabilidades negativas en el contexto de las "amplitudes de probabilidad", que no es más que un nombre elegante para las amplitudes de las funciones de onda.

Eso está muy cerca de ser correcto; es correcto hasta una primera aproximación. El 99% de las veces que la gente habla de "probabilidades negativas" en QM, en realidad se refieren a amplitudes de probabilidad complejas. En aplicaciones muy avanzadas, podrían estar refiriéndose en cambio a las Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner que es un diferente que es vagamente análoga a las "probabilidades negativas" (pero sólo análoga: las probabilidades reales siguen siendo siempre no negativas). Hasta que te sientas mucho más cómodo con QM, probablemente sea mejor que te olvides totalmente de la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner por ahora.

Pero siempre me ha parecido un poco raro hablar de amplitudes de probabilidad: si elevamos al cuadrado la función de onda normalizada y la tratamos como la FDP, como dice la regla de Bourne, todo es igual que en la probabilidad normal, ¿no?

Correcto (excepto que se escribe "Born", no "Bourne").

¿Por qué intentar interpretar las amplitudes en sí mismas, y no sus cuadrados, como probabilidades?

No las interpretamos como probabilidades. (Al menos, la gente que sabe de lo que habla no lo hace.) Están estrechamente relacionadas con las probabilidades, pero también tienen diferencias fundamentales.

¿Estoy equivocado en el párrafo anterior, y no siempre podemos obtener una PDF regular a partir de elevar al cuadrado la función de onda normalizada y en su lugar obtenemos a veces distribuciones de cuasiprobabilidad que permiten probabilidades negativas?

Siempre obtenemos una PDF regular al elevar al cuadrado la función de onda normalizada. Nunca obtenemos distribuciones de cuasiprobabilidad; éstas provienen de un procedimiento muy diferente, que probablemente sea mejor ignorar por completo hasta que se esté mucho más familiarizado con la MC.

¿O hay situaciones en las que necesitamos considerar las propias funciones de onda, en lugar de normalizarlas y elevarlas al cuadrado, para calcular correctamente alguna cantidad?

Sí, hay definitivamente son situaciones de este tipo. Se trata de un tema profundo y complicado. La respuesta rápida y suelta es que es tremendamente conveniente utilizar la estructura de fase de las amplitudes para los cálculos prácticos. La respuesta algo más completa es que necesitamos utilizar las amplitudes complejas para explicar tanto la evolución temporal como la posibilidad de cambiar la base de medida. La respuesta completa y profunda es que las Teorema de Kochen-Specker y Teorema de Bell demostrar que no puede reproducir las predicciones del formalismo estándar de la QM utilizando sólo PDFs regulares, al menos no sin hacer algunas suposiciones extremadamente extrañas. La estructura compleja de las amplitudes es fundamentalmente necesaria para reproducir las predicciones de QM; no es sólo una comodidad de cálculo.

Lo digo con todo respeto, pero estos teoremas son profundos y complejos, y es probable que aún no estés lo bastante familiarizado con la QM como para entenderlos del todo. Pero puedes intentarlo. Deberías plantear cualquier pregunta de seguimiento específica sobre estos teoremas en otra pregunta de Física SE.

Pero no veo por qué es necesaria esta idea de "amplitudes de probabilidad" y probabilidad negativa: ¿por qué no podemos llamar simplemente funciones de onda a las funciones de onda y dejar el tema de la probabilidad enteramente para las PDF reales que obtenemos aplicando la regla de Bourne?

"Probabilidad negativa" es un término equivocado. La mayoría de las personas que utilizan este término son chapuceras y omiten la palabra "amplitud", o simplemente están confundidas. "Amplitud de probabilidad" es la terminología correcta, pero de nuevo, las amplitudes de probabilidad NO son probabilidades. Su interpretación es muy diferente. Si no le gusta utilizar dos términos similares para conceptos matemáticos muy diferentes, entonces por ahora está bien quedarse con el término "función de onda" en su lugar (aunque hay algunas pequeñas diferencias entre los términos "función de onda" y "amplitud de probabilidad" en los bordes).

¿O PODEMOS hacer eso y llamar amplitudes de probabilidad a las amplitudes de la función de onda es sólo una forma de pensar en esa matemática?

Correcto.

En otras palabras, ¿se trata sólo de una cuestión de lenguaje, de intentar o no introducir la etiqueta de probabilidad en una mayor parte de la teoría generalizando la definición de probabilidad, o hay algo más?

No entiendo muy bien esta última pregunta, pero sí, básicamente es terminología confusa. Las amplitudes probabilísticas están relacionadas con las probabilidades, pero NO son probabilidades. Son una herramienta intermedia que eventualmente se convierten en verdaderas probabilidades. No hay probabilidades negativas en QM. Si quieres, puedes dejar de usar la palabra "p" y llamar "amplitudes" a los componentes de la función de onda; la gente entenderá lo que quieres decir.

Answer 2

No hay probabilidades negativas.

Existe en el formulación del espacio de fases de las distribuciones de "cuasi-probabilidad" QM $W(x,p)$ que son en algún lugar negativas, pero las probabilidades que se producen como resultado de integrar tales distribuciones son siempre no negativas.

Para ser explícitos, $$ \vert\psi(x)\vert^2=\int dp\, W(x,p) $$ (por ejemplo) se obtiene integrando todos los momentos de la cuasidistribución conjunta $W(x,p)$ , $\vert \psi(x)\vert^2$ coincide con la densidad de probabilidad calculada a partir de la regla de Born, y es en todas partes no negativa, de modo que la probabilidad de encontrar el sistema en algún intervalo espacial es siempre no negativo.

Para ilustrarlo, observe las dos figuras siguientes:

Muestran la misma función de cuasidistribución, que contiene regiones de negatividad cerca del centro, como se ilustra en la figura de la derecha: cerca del "anti"-pico central la cuasidistribución es claramente negativa. Sin embargo, al integrar esta cuasidistribución a lo largo de la línea $p$ en $x=-2$ (indicada en la figura de la izquierda por la línea roja) produce

$$ \int dp W(x=-2,p)=\vert\psi(x=-2)\vert^2 > 0 $$ por lo que incluso si hay regiones de negatividad la probabilidad de encontrar el sistema cerca de $x=-2$ que es $\vert\psi(x=-2)\vert^2\,dx$ es, por supuesto, positiva. Para completar $\psi(x)$ es de hecho $\psi_1(x)$ la función de onda del $n=1$ estado de oscilador armónico.

Para hacer absolutamente explícita la diferencia entre una probabilidad densidad y una probabilidad, considere la siguiente función de onda gaussiana normalizada:

$$ \psi(\sigma)=\frac{e^{-x^2/(2\sigma)}}{(\pi \sigma)^{1/4}} \tag{1} $$ para $\sigma=1/8$ . $\psi(1/8)$ es una función de onda perfectamente legítima para una partícula en un oscilador armónico. La probabilidad resultante densidad $\vert \psi(1/8)\vert^2$ es $>1$ cerca del origen:

pero, por supuesto, esto no es un problema. Puesto que $\int_{-\infty}^{\infty} dx \vert \psi(1/8)\vert^2=1$ y $\vert \psi(1/8)\vert^2 \ge 0$ en todas partes, se deduce que, para cualquier subintervalo $[a,b]$ : $$ \int_a^b dx \vert \psi(1/8)\vert^2 \le 1 $$ aunque $\vert \psi(1/8)\vert^2$ puede ser mayor que uno en algún lugar . Nadie en su sano juicio sugeriría eso, porque la probabilidad densidad $\vert \psi(1/8)\vert^2$ es superior a 1 en algún lugar las probabilidades superiores a 1 son posibles.

Es el mismo argumento para las regiones negativas de las funciones de Wigner, que son (cuasi)probabilidades densidades con la distinción de que estas densidades de (cuasi)probabilidad pueden ser negativas.

Answer 3

Las otras respuestas son correctas, pero creo que su énfasis se aleja ligeramente de la pregunta. Afirmaciones como "no hay probabilidades negativas en la mecánica cuántica" son razonables para comprender la mecánica cuántica de la imagen de la función de onda. Pero existen otras formas de hacer física cuántica, y algunas de ellas tienen cuasiprobabilidades negativas, que son probabilidades negativas o al menos un poco parecidas, dependiendo de tu interpretación.

Las funciones de onda frente al mundo de Wigner

Existen varias formas de concebir la mecánica cuántica. Todas ellas ofrecen las mismas predicciones experimentales, pero las matemáticas y las interpretaciones son muy diferentes. La más común es la imagen de la función de onda, en la que tenemos un campo complejo que cuando se modula al cuadrado da la función de densidad de probabilidad (FDP). Este campo complejo (función de onda) no es en absoluto un campo de probabilidad, sólo su mod-cuadrado se relaciona con la probabilidad. Las partes del campo se denominan a veces "amplitudes de probabilidad". En la física de campos las ondas tienen amplitud e intensidad, siendo la intensidad el mod-cuadrado de la amplitud. Así que la expresión "amplitud de probabilidad" significa "algo que se relaciona con la probabilidad del mismo modo que la amplitud lo hace con la intensidad".

La razón por la que este campo complejo está en la teoría, en lugar de limitarnos a las FDP, es porque una FDP que evoluciona localmente no puede reproducir nuestras observaciones experimentales. Por ejemplo, en los experimentos de interferencia con dos rendijas (o dos divisores de haz) observamos que los caminos adicionales hacia el mismo punto final a veces se anulan entre sí. Cosa que no puede hacer una FDP que evolucione localmente.

Otro enfoque de la mecánica cuántica son las distribuciones de cuasiprobabilidad (como las funciones de Wigner). Son una forma diferente de modelizar la misma física. Desde este punto de vista, las distribuciones de cuasiprobabilidad desempeñan el papel de las funciones de onda. En cierto sentido son más sencillas, porque tienen valor real (pero a veces negativo), en lugar de valor complejo. Incluso con cuasiprobabilidades, todas las probabilidades que se puedan medir será positivo, pero aparecen negativos para algunas mediciones conjuntas que no se pueden realizar realmente. (por ejemplo, "la cuasiprobabilidad de que tenga exactamente este momento y esté exactamente en esta posición simultáneamente es negativa").

Aunque nunca se vean, los negativos pueden servir para "explicar" las interferencias. Imaginemos un experimento de interferencia. Abrimos una nueva rendija, y vemos que llegan menos partículas a algunos lugares de la pantalla (la probabilidad ha disminuido). Pero parece que la nueva rendija sólo debería haber añadido nuevas opciones. Así que añadir una opción con probabilidad negativa hace que funcione. Si esto te parece sospechoso recuerda que es exactamente el mismo truco que se hace con las funciones de onda. En realidad sólo se miden las frecuencias (número de clics). La distribución de cuasiprobabilidad y la función de onda nunca se ven directamente (pero cualquiera de ellas se puede calcular a partir de la distribución de clics).

Yo mismo opino que la probabilidad es una medida subjetiva de lo que un agente cree saber sobre un sistema, y que si ese agente quiere utilizar probabilidades negativas para describir mejor el sistema, son tan legítimas como las positivas. Por eso, en mis escritos suelo dejar de añadir la palabra "cuasi" después de la introducción y me limito a hablar de probabilidades negativas. Al fin y al cabo, las negativas son importantes: Cuando consideramos la mecánica cuántica utilizando la cuasiprobabilidad, es más o menos cierto que las negativas son el lo que lo hace cuántico.

En resumen, el experimento nos dice que un PDF no funciona del todo bien en mecánica cuántica debido a problemas de interferencia y localidad. La forma básica de tratar esto matemáticamente es insertar alguna estructura matemática (invisible) "debajo" de las probabilidades observadas que pueda hacer interferencia. El tipo de matemática que se inserte es más o menos una elección libre. Dos opciones comunes son las funciones de onda y las distribuciones de cuasiprobabilidades. Si utilizas la teoría de la función de onda, las palabras "probabilidad negativa" no tienen sentido. Si se utiliza la cuasiprobabilidad, las palabras "probabilidad negativa" son una abreviatura perfectamente aceptable de "cuasiprobabilidad negativa" (donde "cuasiprobabilidad" tiene el significado literal de "igual que la probabilidad, pero a veces puede ser negativa").

Answer 4

Ya hay algunas buenas respuestas aquí (me ha gustado especialmente la de @Dast). Me gustaría añadir un par de cosas.

1. Permítanme remitirles al artículo de Feynman: Simulación de la Física con Ordenadores. Int. J. Theor. Phys. 1982, 21, 467. El artículo menciona la función de Wigner. Una de las secciones se titula "Probabilidades negativas". No voy a intentar resumir este artículo clásico. Sólo una cita:

La única diferencia entre un mundo clásico probabilístico y el ecuaciones del mundo cuántico es que, de un modo u otro, parece como si las probabilidades tuvieran que ser negativas, y que no sabemos que yo sepa, cómo simularlo.

2. Ahora me parece que es posible simular el mundo cuántico utilizando modelos clásicos y dar sentido a las probabilidades negativas. Anteriormente ( Eur. Phys. J. C (2013) 73:2371 ), propuse modelar las partículas cuánticas mediante un gran número de partículas y antipartículas (por ejemplo, un electrón puede modelarse mediante un conjunto de N+1 electrones y N positrones). Más tarde, descubrí ( Entropía 2022, 24(2), 261 ) cómo aproximar una distribución de carga suave (con una carga total integral) mediante tales colecciones de cargas cuantizadas discretas. Recientemente, he demostrado ( Quantum Rep. 2022, 4(4), 486-508 ) que dicha aproximación puede ser arbitrariamente precisa en el caso unidimensional (véase la formulación exacta en el artículo).

Este enfoque sugiere que las probabilidades negativas (por ejemplo, para la función de Wigner) pueden explicarse por la existencia de antipartículas.