integral de $f$ sobre curvas

Question

Sea $a,b \in \mathbb{C}, c \in [a,b]$ . Sea $f$ sea una función continua sobre $[a,b]$ Utilice la definición para demostrar que $$\int_{[a,b]} f dz = \int_{[a,c]} fdz + \int_{[c,b]} f dz.$$ Por lo tanto, necesito demostrar esto utilizando sólo la definición de integrales de curvas.

que he hecho hasta ahora: Asumo $c \in [a,b]$ y $c \not \in \{a,b\}$ . (Ya que cuando $c=a$ ou $c=b$ es obvio). Entonces, como $f$ es continua en $[a,b]$ es continua en ambos $[a,c]$ y $[c,b]$ . A continuación, defino $\int_{[a,c]} f dz$ y $\int_{[a,b]} f dz$ respectivamente. (Utilizo la parametrización y obtengo $x(t)=(1-t)a+tc$ para la $\int_{[a,c]} f dz$ y $y(t)=(1-t)c+tb$ para $\int_{[c,b]} f dz$ . (Entonces $0t1$ )

$(-a+c)\int_0^1 f(a-t(c-a))dt + (-c+b)\int_0^1 f(c-t(b-c))dt$ pero no sé qué hacer como siguiente paso para llegar a $\int f(a+t(b-a))(b-a)dt$ .( que es $\int_{[a,b]} f dz$ .)

$[a,b]$ es una notación para una curva de a a b.

¿puede explicarme qué debo hacer? Gracias.

Answer 1

La razón por la que no has podido demostrar esto es porque siempre elegiste que tus segmentos de línea estuvieran parametrizados por $[0,1]$ . Es más conveniente parametrizar $[a,b]$ por $\phi : [0,1] \to [a,b]$ y que $s \in [0,1]$ sea el punto correspondiente a $c$ es decir $c = \phi (s)$ . Entonces

$$\int \limits _{[a,b]} f \ \Bbb d z = \int \limits _0 ^1 f(\phi(t)) \phi' (t) \ \Bbb d t = \int \limits _0 ^s f(\phi(t)) \phi' (t) \ \Bbb d t + \int \limits _s ^1 f(\phi(t)) \phi' (t) \ \Bbb d t = \int \limits _{[a,c]} f \ \Bbb d z + \int \limits _{[c,b]} f \ \Bbb d z .$$