Cómo demostrar "Para cada entero positivo n, $1^{n}$ + $2^{n}$ + ... + $n^{n}$ < $(n+1)^{n}$ ." utilizando la inducción?

Question

¿Cómo puedo demostrar el siguiente teorema?

Para cada número entero positivo $n$ , $1^n + 2^n + ... + n^n \lt (n+1)^n$

utilizando la inducción?

He demostrado que "para cada número real $x > 0$ y todo entero no negativo $n$ , $x^{n} + n \cdot x^{n-1} \le (x+1)^n$ ". Podría ser útil. Gracias.

Answer 1

Déjame intentarlo. Suponiendo que usted tiene $$(P) \ \ \ \ \sum_{i=1}^k i^k < (k+1)^k$$ . Ahora demostramos que $$\sum_{i=1}^{k+1} i^{k+1} < (k+2)^{k+1}$$ .

Tenemos $$LHS = \sum_{i=1}^{k+1} i^{k+1} < (k+2)\sum_{i=1}^k i^k + (k+1)^{k+1} < (k+2)(k+1)^{k} + (k+1)^{k+1}< (k+2)^{k+1}.$$ (utilizando su desigualdad con $x= k+1$ )

Answer 2

No es tu pregunta, pero puedes hacerlo directamente:

\begin{align}(n+1)^n&=n^n+\binom{n}{n-1}n^{n-1}+\binom{n}{n-2}n^{n-2}+...+1\\ &\geq n^n+\binom{n}{n-1}(n-1)^{n-1}+\binom{n}{n-2}(n-2)^{n-2}+...+1 \\ &\geq n^n+(n-1)^{n-1}+ (n-2)^{n-2}+...+1.\end{align}

Answer 3

Si $$1+2+・・・+(n-1)^n<n^n$$ cuando x=n+1 $$1+2+･･･+(n-1)^n+n^n<n^n+n^n<(n+1)^n$$ esa desigualdad funciona también en x=n+1.

Answer 4

Parece la misma prueba que GAVD, pero sin la notación sigma. Tampoco utilicé su lema explícitamente.

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Sea $P(n)$ sea la afirmación de que $1^n + 2^n + 3^n + \dots + n^n < (n+1)^n$ . Entonces $P(1)$ es $1 < 2$ lo cual es definitivamente cierto.

Supongamos que $P(k)$ es cierto para algunos $k$ . Es decir, supongamos $$ 1^k + 2^k + \dots + k^k < (k+1)^k $$ Queremos mostrar $P(k+1)$ es cierto. Ahora \begin{align*} 1^{k+1} + 2^{k+1} + 3^{k+1} + \dots + k^{k+1} + (k+1)^{k+1} &\leq(k+1)1^k + (k+1)2^k + \dots + (k+1)k^k \\&\quad\quad+ (k+1)(k+1)^k \\ &= (k+1)\left(1^k + 2^k + \dots + k^k + (k+1)^k\right) \\ &\stackrel{(*)}{\leq} (k+1)\left((k+1)^k + (k+1)^k\right) = 2(k+1)^{k+1} \end{align*} El punto marcado $(*)$ es donde utilizamos la hipótesis inductiva. Dado que $2 < k+1$ tenemos $$ 1^{k+1} + 2^{k+1} + 3^{k+1} + \dots + k^{k+1} + (k+1)^{k+1} \leq (k+1)^{k+2} $$ que establece que $P(k+1)$ es cierto.

Por lo tanto, por inducción, $P(n)$ es cierto para todos $n$ .

Answer 5

Esta desigualdad es evidente si se observa que $$\frac1{(n+1)^{n+1}}\sum_{k=1}^n k^n=\frac1{n+1}\sum_{k=1}^n \Bigl(\frac k{n+1}\Bigr)^{\!n}$$ es el inferior Suma de Riemann para la función $x^n$ en el intervalo $[0,1]$ con $n+2$ puntos de subdivisión. Así, $$\frac1{n+1}\sum_{k=1}^n \Bigl(\frac k{n+1}\Bigr)^{\!n}<\int_0^n x^n\,\mathrm d\mkern1mu x=\frac1{n+1}\iff\sum_{k=1}^n \Bigl(\frac k{n+1}\Bigr)^{\!n}<1.$$