Entiendo por qué eliminar dos puntos de $\mathbb R^2$ da una superficie que es homeomorfa a un ramillete de dos círculos. Pero, ¿alguien puede escribir este homeomorfismo?
Respuesta
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Como se ha señalado en los comentarios, $\mathbb{R}^2\backslash\{p,q\}$ es no ¡homeomorfo a un ramillete de dos círculos! Sin embargo, existe un deformación retracción de ese espacio a un subespacio homeomorfo al ramillete de dos círculos, en particular tienen la misma tipo de homotopía . La retracción de la deformación se puede escribir explícitamente, pero es un poco lioso y no realmente esclarecedor. Si lo quieres, escribe un comentario y lo escribiré.
Ok, voy a explicar cómo construiría una retracción de deformación de $X=\mathbb{R}^2\backslash\{-1,1\}$ a un subespacio $Y\subset X$ homeomorfo de $S^1\vee S^1$ . Obsérvese que la retracción inducida de este modo es una equivalencia homotópica entre los dos espacios (con inversa la inclusión $Y\to X$ ).
Sea $Z$ sea la unión del círculo de radio $2$ centrado en $0$ con el segmento vertical de $(0,-1)$ a $(0,1)$ . Definimos una retracción de deformación $F:[0,1]\times X\to X$ por: $$F(t,x)=\cases{\left(\frac{t}{\|x\|}+(1-t)\right)x & if $ |x||ge2 $\\ tz(x)+(1-t)x&else}$$ donde $z(x)$ es $x$ si $x_1=0$ y la intersección más próxima a $x$ de la recta que pasa por $x$ y el punto más cercano a $x$ entre $(0,-1)$ y $(1,0)$ (puedes escribirlo explícitamente, pero tienes que separar un par de casos más). Este mapa deforma $X$ a $Z$ mantener $Z$ arreglado.
Siguiente definición $G:[0,1]\times Z\to X$ por $G(t,x)=ty(x)+(1-t)x$ donde $y(t)$ es el punto de $Y$ que está más cerca de $x$ a lo largo de la línea vertical que pasa por $x$ (de nuevo, puedes anotarlo fácilmente si quieres). Este mapa deforma el espacio $Z$ a $Y$ .
El mapa $H:[0,1]\times X\to X$ definido por: $$H(x,t)=\cases{F(2t,x)&if $ t\le1 $\\G(2t-1,F(1,x))&if $ t\ge1 $}$$ es la retracción de deformación deseada.
