Demuestra que $e^x$ y $e^{-x}$ son linealmente independientes en C $(-\infty,\infty).$

Question

Demuestra que $e^x$ y $e^{-x}$ son linealmente independientes en C $(-\infty,\infty).$

Para resolver esto hay que utilizar el Wronskian de $f_1,f_2..f_n$

De este modo, demostramos

$$W[e^x,e^{-x}] = \begin{vmatrix}e^x & e^{-x} \\e^x& -e^{-x} \end{vmatrix} = -2$$

¿Puede alguien explicar por qué esta matriz es igual a $-2$ ?

Answer 1

En primer lugar no es la matriz igual a -2, sino su determinante.

$$\begin{vmatrix}e^x & e^{-x} \\e^x& -e^{-x} \end{vmatrix} = e^x(-e^{-x}) - e^{-x}e^x = -e^{x-x}-e^{x-x} = -e^0-e^0 = -1-1=-2$$

Answer 2

La solución elemental también es posible en este caso simple de dos funciones exponenciales. Si $e^x$ y $e^{-x}$ eran linealmente dependientes, entonces eran proporcionales: $$e^x=\alpha e^{-x}$$ para algunos $\alpha\ne 0$ y para todos $x\in\Bbb R$ . Para $x=0$ obtenemos $\alpha=1$ y $e^x=e^{-x}$ para todos $x$ que es la tontería.

Este argumento también sirve para $e^{ax}$ y $e^{bx}$ con $a\ne b$ .