¿Qué $t$ $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^t} \sum\limits_{k=1}^n \text{prime}(k)$ de hace converger?

Question

El promedio de los números primos es $$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \text{prime}(k) ,$ $ que diverge.

Cuál es la más pequeña $r$tal que $t>r$ $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^t} \sum_{k=1}^n \text{prime}(k)$ $ converge.

Y ¿qué es $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^4} \sum\limits_{k=1}^{n} \text{prime}(k)$?

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que

$$n\log n=\omega(n); \tag{1}$$ $$n\log n= o(n^{1+\epsilon})\; \forall\epsilon>0 \tag{2}$$

Además, por la suma de Riemann,

$$\sum_{k=1}^n\;k^s =n^{s+1}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}(k/n)^s\sim n^{1-s}\int_0^1x^sdx=\frac{n^{s+1}}{s+1}\;\forall s>-1 \tag{3}$$

Luego, con $p_n\sim n\log n $, y el de arriba podemos decir

$$\frac{A}{2}n^2\sim A\sum_{k=1}^n k \le \sum_{k=1}^n\;p_k\le B\sum_{k=1}^n k^{1+\epsilon}\sim\frac{B}{\epsilon+2} n^{\epsilon+2}. \tag{4}$$

(Para algunos $A,B>0$ cualquier $\epsilon>0$, y suficientemente grande $n$.) Por lo tanto $$\frac{1}{n^t}\sum_{k=1}^n\; p_k$$ es asintóticamente mayor que un número constante de veces $n^{2-t}$ (por lo $\lim$ diverge para $t<2$), y también es asintóticamente a menos de una constante por $n^{2-t+\epsilon}$ cualquier $\epsilon>0$ (por lo $\lim=0$$t>2$).

Al $t=2$, el uso de Abel fórmula de sumación de decir (para algunos $C>0$) $$\sum_{k=1}^n\; p_k\ge C\sum_{k=1}^n k\log k= \frac{n(n+1)}{2}\log n-\int_1^n \frac{\lfloor x\rfloor(\lfloor x\rfloor+1)}{2}\frac{1}{x}dx$$ $$=\frac{n(n+1)}{2}\left(\log n - O(1)\right) =\omega(n^2)$$ por lo tanto $\lim$ no existe en $t=2$.

Answer 2

Deja de intentar ser más precisa y trabajar hacia fuera la asintótica. En esta respuesta: ¿cómo $ \sum_{p<x} p^{-s} $ crece asintóticamente $ \text{Re}(s) < 1 $? Se muestra que para fijo $s$ $$\sum_{p\leq x} p^{-s} \sim \frac{x^{1-s}}{(1-s)\log x}.$$ Letting $s = - 1$ we see that $$\sum_{p\leq x} p \sim \frac{x^{2}}{2\log x}.$$ Now, the sum you are looking at is $$\sum_{k=1}^n p_k = \sum_{p\leq p_n} p \sim \frac{(p_n)^2}{2 \log (p_n)}.$$ Using the fact that $% $$p_n \sim n\log n$vemos que

$$\sum_{k=1}^n p_k \sim \frac{n^2 \log n}{2}.$$

De aquí podemos concluir fácilmente todas las observaciones.

Espero que te sirva,

Answer 3

Su límite no existe $t=2$ y es cero para todos los $t\gt2$.