Equivalencia de soluciones de la ecuación de ondas

Question

La ecuación diferencial $$\ddot x = -\omega^2 x$$ aparentemente tiene soluciones de $$x = Ae^{i\omega t} + Be^{-i\omega t} \tag{1}$$ Y $$x = A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t) \tag{2}$$ Y $$x = A\sin(\omega t + \phi) \tag{3}$$

¿En qué son equivalentes? ¿No es $(1)$ un número complejo donde $(2)$ y $(3)$ ¿son reales? ¿Y cómo es que la suma de una onda sinusoidal y una cosenoidal es sólo una onda sinusoidal?

Answer 1

De (2) a (3):

$$A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t)=\sqrt{A^2+B^2}\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin(\omega t) + \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos(\omega t)\right)\\\sqrt{A^2+B^2}(\cos\phi\sin{(\omega t)}+\sin\phi\cos{(\omega t)})\\ =C\sin{(\omega t+\phi)}$$

También se puede escribir como $C\cos{(\omega t+\phi)}$ . Para simplificar, partimos de aquí para deducir (1):

$$C\cos{(\omega t+\phi)}=\frac{1}{2}\left(Ce^{i(\omega t+\phi)}+ Ce^{(-i(\omega t+\phi)}\right)\\ =Ae^{i\omega t}+Be^{\omega t}$$

donde $A=\frac{1}{2}Ce^{i\phi}, B=\frac{1}{2}Ce^{-i\phi}$ .

Answer 2

Algo que las otras respuestas no mencionaron y que creo que debería ser: si tus respuestas son supuesto sea real -- porque esta es la solución de un oscilador que sufre SHM por lo que parece -- entonces sus soluciones son NO equivalente como está escrito. Tienes que añadir una condición a la primera.

Así que su primera solución es $$x(t) = Ae^{i\omega t} + Be^{-i\omega t}$$ como astutamente has notado el lado derecho es un número complejo . Pero tal vez sólo nos interesa real soluciones ¿entonces nuestra respuesta es errónea? No, sólo tenemos que elegir las soluciones reales del conjunto de soluciones complejas.

Como puede que recuerde, una condición que especifica un número real es que sea invariante bajo conjugación compleja. Es decir, si $z \in \Bbb C$ y $z = \bar z$ entonces $z$ es un número real de la forma $z=a+0i$ .

Así que necesitamos el número $Ae^{i\omega t} + Be^{-i\omega t}$ para tener esta propiedad. Así que un poco de matemáticas:

$$\overline {Ae^{i\omega t} + Be^{-i\omega t}} = \overline {Ae^{i\omega t}} + \overline{Be^{-i\omega t}} = \overline A e^{-i\omega t} + \overline B e^{i\omega t}$$ En comparación con $x(t) = Ae^{i\omega t} + Be^{-i\omega t}$ vemos que la única manera $x$ es real es si $A=\overline B$ y $B = \overline A$ . Así que la forma en que su solución debería ser escrito -- si quieres una función real -- es:

$$x(t) = Ae^{i\omega t} + \overline A e^{-i\omega t}$$

Tenga en cuenta que $A = a + bi$ es un número complejo tienes el mismo número de constantes arbitrarias en esta ecuación que en tus otras dos soluciones.

Puedes fijarte en las respuestas anteriores para demostrar que esta solución es la misma que $(2)$ y $(3)$ .

Answer 3

$x=A e^{i \omega t}+Be^{-i \omega t}$

Se puede escribir en términos de razones trigonométricas, utilizando el teorema de-moivre.

$x=A \cos \omega t+Ai \sin \omega t+B \cos \omega t- Bi \sin \omega t $

Ahora , agrupando los términos, obtendremos.

$x= (A+B) \cos \omega t + i(A-B) \sin \omega t$

Ahora lo interesante aquí es que, cualquiera que sea la naturaleza de estas constantes $A, B , i$ no por ello dejan de ser constantes, y podemos fijarles cualquier valor arbitrario que deseemos, de ahí que definamos otra constante C , D para ellas.

$x=C \cos \omega t+D \sin \omega t$ donde $C,D$ son los nombres que asignamos a las constantes y en general puedes asignarles cualquier nombre.

Ahora , expresaremos lo anterior como una sola razón trigonométrica, expresándolo en términos de identidad de $\sin (\omega t + \phi) = \sin\omega t \ cos \phi + \cos \omega t \sin \phi$

Para ello multiplicaremos nuestra solución como sigue,

$x=\sqrt{C^2+D^2} \left[\left(\frac {D}{\sqrt{C^2+D^2}}\right)\sin \omega t+\left(\frac {C}{\sqrt{C^2+D^2}}\right)\cos \omega t\right]$

Set, $\sin \phi = \left(\frac {C}{\sqrt{C^2+D^2}}\right)$ , $\cos \phi = \left(\frac {D}{\sqrt{C^2+D^2}}\right)$

Ahora podemos expresar $x=\sqrt {C^2+D^2}(\sin \omega t \cos \phi + \cos \omega t \sin \phi)$
$x=\sqrt {C^2+D^2}(\sin (\omega t + \phi)$

$x=R \sin (\omega t + \phi)$

Esto demuestra que los tres casos son equivalentes en casos de funciones, siempre que las constantes se elijan adecuadamente.