La demostración del Lemma 10.1 en el libro de Nik sobre el forzamiento

Question

Soy un estudiante universitario que intenta aprender teoría de conjuntos. Y tengo algunos problemas para entender la densidad de un conjunto construido.

En Lema 10.1 de El libro de Nik afirma: Sea $G$ sea un ideal genérico de $P$ , dejemos que $D \in \mathbf M$ sea un subconjunto de $P$ y supongamos que cada elemento de $G$ es compatible con algún elemento de $D$ entonces $G$ debe intersecarse $D$ .

En la prueba de Nik, introdujo el conjunto $$D’=\{p\in P:p\supset q\ \ {\rm for\ some\ }q\ {\rm in\ }D\}\cup\{p\in P:p\ {\rm is\ incompatible\ with\ every\ }q\in D\}$$ y afirma que el conjunto $D’$ es denso en $P$ que me costó verificar. La información que tenía me parece muy limitada y no sé por dónde empezar. Tuve que demostrar que para cualquier $q\in P$ , hay algunos $p\in D’$ tal que $p$ extiende $q$ . Traté de asumir $q\in D$ entonces parece natural dividirlo en dos casos, en los que

1. Hay algunos $p\in D’$ tal que $p$ extiende $q$ .
2. Cualquier $p\in D’$ , $p$ no es una extensión de $q$ .

Y tengo que demostrar que el caso 2 no se sostiene. Pero no puedo ver cómo esto podría hacerse tampoco.

¿Puede alguien ayudarme con este problema? ¿Me estoy perdiendo o malinterpretando algunas ideas básicas sobre este tema?

Answer 1

Dada cualquier condición en $p\in P$ o bien es incompatible con el conjunto de $D$ en cuyo caso está dentro de $D'$ o es compatible con algún $q\in D$ y, por tanto, hay algún $r$ que amplía tanto $p$ y $q$ y, por tanto, por definición $r\in D'$ .

Así que $p$ ya estaba en $D'$ o tiene una extensión en $D'$ . En cualquier caso, $D'$ es denso. Como buen ejercicio, intenta demostrar que también es abierto.