Condición para la que $T'$ es inyectiva. (Ayuda para entender una prueba increíblemente escueta).

Question

Trabajar desde Métodos del espacio de Hilbert para ecuaciones diferenciales parciales por Showalter. La demostración de uno de los teoremas hace referencia a un resultado previo que me parece casi sin relación con el teorema que se pretende demostrar:

Teorema I.5.A (página 17). Si $V$ es un espacio lineal, $W,q$ es un espacio seminorma y $T \in L(V,W)$ tiene rango denso, entonces $T'$ es inyectiva en $W'$ .

Prueba. [El resultado] se deduce de la sección I.3.2.

La sección I.3.2 (páginas 10-11) enumera un teorema y un lema:

Lema. Sea $T: D \to W$ donde $D$ es un subconjunto de un espacio seminormado $V,p$ y $W,q$ es un espacio lineal normado. Existe como máximo un $\overline{T}: \overline{D} \to W$ para lo cual $\overline{T}|_D = T$ .

Teorema I.3.A Sea $T \in \mathscr{L}(D,W)$ donde $D$ es un subespacio del espacio seminormado $V,p$ y $W,q$ es un espacio de Banach. Entonces existe un único $\overline{T} \in \mathscr{L}(\overline{D},W)$ tal que $\overline{T}|_D = T$ y $|\overline{T}|_{p,q} = |T|_{p,q}$ .

¡No veo en absoluto cómo se deduce el Teorema I.5.A ni del Lemma ni del Teorema I.3.A!

Mi conjetura es que el conjunto $D$ en el Teorema I.3.A se traduce en Rango $(T)$ en el Teorema I.3.A. Y el resultado de unicidad para $\overline{T}$ en el Teorema I.3.A se traduce de alguna manera en la inyectabilidad de $T'$ en el Teorema I.5.A. ¿Pero quizá sea una idea totalmente equivocada? ¿O si es la idea correcta, no tengo ni idea de cuál es la conexión?

Nota: en esta notación, $L(V,W)$ se refiere a todos los operadores lineales y $\mathscr{L}(V,W)$ se refiere a operadores lineales acotados. $|T|_{p,q}$ se refiere al operador seminorma inducido por las seminormas $p$ y $q$ .

Answer 1

Esto no requiere el Lemma ni el Teorema 1.3.A. Sólo se necesita la deifinición de $T'$ .

Si $T'w'=0$ entonces $T'w'(x)=0$ para todos $x \in V$ . Por definición, esto significa $w'(Tx)=0$ para todos $x\in V$ . Por continuidad de $w'$ y el hecho de que $\{Tx: x\in V\}$ es denso en $W$ obtenemos $w'(w)=0$ para todos $w \in W$ Así que $w'=0$ . Esto demuestra que $T'$ es inyectiva.

Answer 2

Pregunta original aquí. Gracias a geetha290krm por una prueba concisa. También se me ocurrió una prueba persiguiendo explícitamente definiciones alrededor, que pensé en escribir y contribuir también:

(1) Reformulemos la afirmación a demostrar. Las hipótesis dadas son:

• $V$ es un espacio lineal.
• $W,q$ es un espacio seminorma.
• $T \in L(V,W)$ tiene un alcance denso.

Lo que hay que demostrar es que $T'|_{W'}$ es inyectiva. Por lo tanto, tenemos que demostrar que si $T'f_1 = T'f_2$ para $f_1, f_2 \in \mathscr{L}(W,\mathbb{R})$ entonces $f_1 = f_2$ . Así pues, a las hipótesis anteriores, añadimos la hipótesis de que

• $T'|_{W'}f_1 = T'|_{W'}f_2$ y $f_1, f_2 \in \mathscr{L}(W,\mathbb{R})$ ,

y queremos demostrar que $f_1 = f_2$ .

(2) Desembalemos cuidadosamente las definiciones de la hipótesis añadida:

• Porque $T'f_1$ y $T'f_2$ son funcionales lineales en $V$ para decir que $T'f_1 = T'f_2$ es decir que $(T'f_1)(v) = (T'f_2)(v)$ para todos $v \in V$ .

• Por definición del mapa de transposición $T'$ Esto significa que $(f_1 \circ T)(v) = (f_2 \circ T)(v)$ para todos $v \in V$ lo que significa que $f_1(Tv) = f_2(Tv)$ para todos $v \in V$ .

Así pues, la hipótesis $T'|_{W'}f_1 = T'|_{W'}f_2$ implica que $f_1$ y $f_2$ coinciden en la gama de $T$ que denotamos $R(T)$ . En resumen, $f_1|_{R(T)} = f_2|_{R(T)}$ .

(3) Por hipótesis, $R(T)$ es denso en $W$ . Nos gustaría invocar el Teorema I.3.A. Para ello, reescribamos el Teorema I.3.A utilizando la terminología apropiada para la afirmación actual: Sea $f|_{R(T)} \in \mathscr{L}(R(T), \mathbb{R})$ donde $R(T)$ es un subconjunto denso del espacio seminormado $W$ y $\mathbb{R}$ es (obviamente) un espacio de Banach. Entonces existe un único $f \in \mathscr{L}(W, \mathbb{R})$ tal que $f(w) = f|_{R(T)}(w)$ para todos $w \in R(T)$ .

(4) Según (3), la función $f_1|_{R(T)}: R(T) \to \mathbb{R}$ puede ampliarse de forma única a $f_1: W \to \mathbb{R}$ y $f_2|_{R(T)}$ puede ampliarse de forma similar a $f_2$ . Pero como las extensiones $f_1$ y $f_2$ son únicas, tenemos que $f_1(w) = f_2(w)$ para todos $w \in W$ es decir, que $f_1 = f_2$ .

Para concluir, hemos demostrado que para las hipótesis dadas, si $T'|_{W'}f_1 = T'|_{W'}$ entonces $f_1 = f_2$ lo que significa que $T'$ es inyectiva en $W'$ .