¿Cómo hallar el radio de un círculo que interseca dos ángulos adyacentes y toca el lado opuesto de un rectángulo?

Question

Varias veces a lo largo de los años he necesitado utilizar una cuerda de pivote de radio para ayudar a trazar un arco en una tabla. Puede tratarse de una puerta o de un arco en el techo. En mi último proyecto necesitaba construir una solera de hormigón de 177" con un arco de dos pulgadas. Usando Google Sketchup a través de ensayo y error he llegado a un radio de ~ 69,5 pies. Desafortunadamente, en Sketchup el círculo se genera desde el centro por lo que se necesitan varios intentos para dar con la distancia correcta. Una fórmula sería muy conveniente. He leído sobre la trigonometría del círculo, pero no he llegado a ninguna parte.

Answer 1

¿Es ésta la situación?

El rectángulo tiene la longitud $a$ y altura $b$ y el círculo de radio $r$ pasa a través de $2$ esquinas adyacentes y toca el otro lado.

Si es así, el radio se puede encontrar de la siguiente manera:

$$(r-b)^2 + (\frac {a}{2})^2 = r^2$$ $$=>\;\; r = \frac{a^2 + 4b^2}{8b}$$

Answer 2

Si se conoce el radio del arco, entonces para calcular la altura del arco $h$ y coordenadas de arco puede utilizar :

$$ h ( 2 R - h) = a^2 ; \quad y = \sqrt{x ( 2 R-x) } $$