Ejemplo de expectativa condicional y álgebra sigma

Question

Estoy intentando conseguir $E(X|F)$ . Pero no estoy seguro de tener razón.

Las únicas variables disponibles en $F$ son $\{1\}$ y $\{ 2\}$ . Por lo tanto, la probabilidad de 2 sucesos posibles de 6 sucesos en F es $\frac{2}{6}=1/3$ .

¿Estoy en lo cierto? Si no es así, ¿cómo $ E(X|F)$ ? Le agradecería su ayuda.

Answer 1

Pista. $F=\sigma(\{1 \},\{2 \},\{3,4 \})$

$D=\{ \{1 \},\{2 \},\{3,4 \} \}$

$$E(X|F)=E(X|\{1\})1_{\{1 \}} +E(X|\{2\})1_{\{2 \}}+E(X|\{3,4\})1_{\{3,4 \}} $$

Por otro lado

\begin{eqnarray} E(X|F)(\omega)= \left\{ \begin{array}{cc} E(X|\{1\}) & \omega \in \{1 \} \\ E(X|\{2\}) & \omega \in \{2 \}\\ E(X|\{3,4\}) & \omega \in \{3,4 \} \end{array} \Muy bien. \Fin. véase conditional-expectations-when-conditioning-on-a-discrete-sigma-algebra y una partición finita o contable ahora

$$E(X|A)=\frac{E(X1_{A})}{P(A)}$$ Expectativa_condicional_respecto_a_un_evento

por ejemplo

$$E(X|\{3,4\})=\frac{E(X1_{\{3,4\}})}{P(\{3,4\})}$$