Continuidad puntual de función no negativa dominada

Question

Sea $M$ sea un espacio topológico y $f, g : M\rightarrow\mathbb{R}_+$ sean dos funciones no negativas con $f(x_0)=g(x_0)=0$ para algunos $x_0\in M$ .

Supongamos además que $f(x)\leq g(x)$ para cada $x\in M$ y que $g$ es continua en $x_0$ .

Me preguntaba si esto es suficiente para concluir que $f$ también debe ser continua en $x_0$ ?

Es evidente que esto se cumple si $M$ es un espacio métrico, pero ¿es también cierto para espacios topológicos generales (la topología sobre $\mathbb{R}_+$ será siempre la topología euclidiana (subespacio))?

Answer 1

Recordemos primero la definición de continuidad. En un espacio topológico $M$ una función $f$ es continua en $x_0$ si para cada barrio $V$ de $f(x_0)$ hay un vecindario $U$ de $x_0$ para que $f(U)\subset V$ . Ahora, por supuesto, $g$ es continua en $x_0$ por lo que $\epsilon > 0$ y encontrar un barrio $U$ de $x_0$ tal que $g(U)\subset[0,\epsilon)$ . Desde $f\le g$ en todas partes, $f(U)\subset [0,\epsilon)$ .