Un límite con números primos

Question

Un amigo y yo trabajamos en la construcción de un problema para AMM. Todo empezó bastante bien, pero al final nos dimos cuenta de que la parte inicial de la solución estaba mal. En pocas palabras, pensamos que habíamos demostrado que

$$\lim_{n \to \infty} \left(\log_{p_{n+1}} ((n+1)!)-\log_{p_n}(n!)\right)=1$$

donde $p_n$ es el $n$ -ésimo número primo.

Denotando $x_n=\log_{p_n}(n!)$ Hay algunas formas en las que creo que es posible demostrar que $x_{n+1}-x_n \to 1$ :

En primer lugar, quizá sea posible por cálculo directo (lo hemos intentado y no hemos conseguido nada). El segundo método es utilizando Stolz-Cesàro de una manera diferente: si demostramos que $(x_{n+1}-x_n)$ es convergente entonces debe tener el mismo límite que $x_n/n$ que converge a $1$ .

Así que mi pregunta es:

¿Es cierto que $(x_{n+1}-x_n) \to 1$ o al menos $(x_{n+1}-x_n)$ ¿es convergente?

Gracias.

Answer 1

Voy a suponer que la obra de Harald Cramer conjetura es cierto, es decir $g_n = p_{n+1}-p_n = \mathcal{O}(\log^2 p_n)$ .

Supongamos además que el límite $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \frac{g_n}{\log^2 p_n}$ existe y deja que $\displaystyle c = \lim_{n\to \infty} \frac{g_n}{\log^2 p_n}$ denotan su valor. Entonces $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_{n+1}-x_{n} = 1-c.$

Para demostrarlo, simplifica la diferencia utilizando la ecuación de recurrencia del factorial: $$ x_{n+1}-x_n = \frac{\log p_n \cdot \log (n+1) - \log n! \cdot \log(1+\frac{g_n}{p_n})}{ \left(\log p_n + \log(1+\frac{g_n}{p_n}) \right) \log p_n } $$

Ahora usa $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \frac{\log n!}{p_n} = 1$ . Y escribe

$$ x_{n+1}-x_n = \frac{\log p_n \cdot \log (n+1) - \frac{\log n!}{p_n} \cdot p_n \log(1+\frac{g_n}{p_n})}{ \left(1 + \frac{1}{\log p_n} \log(1+\frac{g_n}{p_n}) \right) \log^2 p_n } $$ Y, finalmente: $$ x_{n+1}-x_n = \frac{ \frac{\log (n+1)}{\log p_n} - \frac{\log n!}{p_n} \cdot \frac{g_n}{\log^2 p_n} \cdot \frac{p_n}{g_n} \log(1+\frac{g_n}{p_n})}{ \left(1 + \frac{1}{\log p_n} \log(1+\frac{g_n}{p_n}) \right) } $$

Ahora bien, como $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{g_n}{p_n} = 0$ , $$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{p_n}{g_n} \log \left(1+\frac{g_n}{p_n}\right) = 1$$ y $$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{\log p_n} \log \left(1+\frac{g_n}{p_n}\right) \right) = 0.$$

Answer 2

Dejemos que $m_{0}$ sea el mínimo del conjunto $\{m\in \mathbb{N} : \forall n \text{ sufficiently large, } g_{n}<(\log p_{n})^{m}\}$ . Entonces se puede demostrar que $m_{0}$ no es un número entero. Por lo tanto, basta con demostrar que $m_{0}<2$ para conseguir $c=0$ y el límite deseado.