Circunscripción al infinito: ¿Es convergente este producto infinito?

Question

Un círculo de radio $r_1=1$ está inscrito en un triángulo equilátero. El propio triángulo está inscrito en un círculo mayor y este círculo mayor está inscrito en un cuadrado. Si continuamos este proceso de circunscribir alternativamente entre un círculo y un regular $n$ -gon, teóricamente, acabaremos con un círculo cuyo radio es $r_\infty$ y no podemos circunscribir ese círculo con ningún polígono regular mayor (ya que los regulares $n$ -gon se convertirá en un círculo cuando $n$ tiende a infinito). Hallar el valor de $r_\infty$ .

Me imagino que porque la relación entre el apotema $a$ y circumradius $r$ de un $n$ -gon es: $r=\frac{a}{\cos\frac{\pi}{n}}$ tendría que calcular el producto infinito: $$r_\infty=\prod_{n=3}^{\infty} \frac{1}{\cos(\frac{\pi}{n})}$$

¿Converge este producto infinito? En caso afirmativo, ¿cuál es el valor de $r_\infty$ y cómo calcularla? Por favor, ayuda, gracias a todos de antemano.

Answer 1

Desde $\frac{1}{\cos(\frac{\pi}{n})} \geq 1$ el producto $\prod_{n=3}^{\infty} \frac{1}{\cos(\frac{\pi}{n})}$ converge si y sólo si $\sum_{n=3}^{\infty}\left( \frac{1}{\cos(\frac{\pi}{n})}-1 \right)$ converge.

Ahora $$\lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{\cos(\frac{\pi}{n})}-1}{\frac{1}{n^2}}= \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\cos(\frac{\pi}{n})}\frac{1-\cos(\frac{\pi}{n})}{\frac{1}{n^2}}= \lim_{n\to \infty} \frac{1-\cos(\frac{\pi}{n})}{\frac{1}{n^2}}\\=\pi^2\lim_{n\to \infty} \frac{1-\cos(\frac{\pi}{n})}{\frac{\pi^2}{n^2}}=\pi^2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{\pi^2}{2}$$

Desde $\sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n^2}$ converge, por el teorema de comparación de lmit $\sum_{n=3}^{\infty}\left( \frac{1}{\cos(\frac{\pi}{n})}-1 \right)$ converge. Por lo tanto, su producto converge.

Answer 2

$r_\infty=8.7000366\dots$ es el constante de circunscripción poligonal , OEIS A051762 . Por tanto, sí converge, aunque no existe una forma cerrada.