Mostrar que $2^n(\cos^n(\frac{2\pi}{9})+\cos^n(\frac{4\pi}{9})+\cos^n(\frac{8\pi}{9}))\in\mathbb{Z}$

Question

1. $a_n=2^n\left[\cos^n\left(\dfrac{2\pi}{9}\right)+\cos^n\left(\dfrac{4\pi}{9}\right)+\cos^n\left(\dfrac{8\pi}{9}\right)\right]$. Mostrar que $a_n\in\mathbb{Z}$ todos los $n\in\mathbb{Z}$.

2. Encontrar el último dígito en $a_{10^6}$.

Mi progreso:

1. Creo que puede ser resuelto por la expresión de las $a_n$ como una recurrencia lineal mediante el uso de la ecuación cúbica $x^3-3x+1=0$ a que las raíces $x_1=2\cos\left(\dfrac{2\pi}{9}\right),x_2=2\cos\left(\dfrac{4\pi}{9}\right),x_3=2\cos\left(\dfrac{8\pi}{9}\right)$. No estoy muy seguro de cómo conectar $a_n$ a esta ecuación cúbica.

2. Supongo que si usted puede encontrar una recurrencia lineal a $a_n$, el último dígito sería cíclico y de que manera. Tenía la esperanza de resolver sin el uso de equipo de trabajo, pero tal vez eso es difícil.

Lo siento si mi $\TeX$ escrito no es correcto. Todavía estoy aprendiendo. Gracias!

Answer 1

Como se muestra en la $(10)$ por debajo de, $x_1=2\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right)$, $x_2=2\cos\left(\frac{4\pi}{9}\right)$, y $x_3=2\cos\left(\frac{8\pi}{9}\right)$ todas satisfacer $$ x^3-3x+1=0\etiqueta{1} $$ Como se muestra en la $(13)$ a continuación, la secuencia de $a_n=c_1x_1^n+c_2x_2^n+c_3x_3^n$ satisface $$ \begin{align} a_n&=3a_{n-2}-a_{n-3} \end{align}\etiqueta{2} $$ Además, $$ \begin{align} x_1&=e^{2\pi i/9}+e^{-2\pi i/9}\\ x_2&=e^{4\pi i/9}+e^{-4\pi i/9}\\ x_3&=e^{8\pi i/9}+e^{-8\pi i/9} \end{align}\etiqueta{3} $$ Por lo tanto, como se muestra en la $(7)$ a continuación, siendo la suma de la novena raíces de la unidad menos la suma de la tercera raíces de la unidad, $$ x_1+x_2+x_3=0\etiqueta{4} $$ Utilizando la ecuación $(8)$ a continuación, obtenemos $$ x_1^2+x_2^2+x_3^2=6\etiqueta{5} $$ Por lo tanto, obtenemos $$ \begin{align} a_0&=x_1^0+x_2^0+x_3^0=3\\ a_1&=x_1^1+x_2^1+x_3^1=0\\ a_2&=x_1^2+x_2^2+x_3^2=6 \end{align}\etiqueta{6} $$ Eqations $(2)$ $(6)$ muestran que $a_n\in\mathbb{Z}$ todos los $n\ge0$.

---

Por Qué $x_k$ Satisface (1)

Como se señaló anteriormente, la suma de $x_k$ es la diferencia de la suma de la novena raíces de la unidad y la suma de la tercera raíces de la unidad, y por lo tanto $0$. Es decir, $$ \begin{align} &x_1+x_2+x_3\\[6pt] &=\small\left(e^{2\pi i/9}+e^{16\pi i/9}\right)+\left(e^{4\pi i/9}+e^{14\pi i/9}\right)+\left(e^{8\pi i/9}+e^{10\pi i/9}\right)\\ &=\small\left(e^{0\pi i/9}+e^{2\pi i/9}+e^{4\pi i/9}+e^{6\pi i/9}+e^{8\pi i/9}+e^{10\pi i/9}+e^{12\pi i/9}+e^{14\pi i/9}+e^{16\pi i/9}\right)\\ &-\small\left(e^{0\pi i/9}+e^{6\pi i/9}+e^{12\pi i/9}\right)\\ &=0-0\tag{7} \end{align} $$

El cuadrado y restando $2$ rendimientos $$ \begin{align} x_1^2-2=\left(e^{2\pi i/9}+e^{-2\pi i/9}\right)^2-2&=e^{4\pi i/9}+e^{-4\pi i/9}=x_2\\ x_2^2-2=\left(e^{4\pi i/9}+e^{-4\pi i/9}\right)^2-2&=e^{8\pi i/9}+e^{-8\pi i/9}=x_3\\ x_3^2-2=\left(e^{8\pi i/9}+e^{-8\pi i/9}\right)^2-2&=e^{2\pi i/9}+e^{-2\pi i/9}=x_1 \end{align}\etiqueta{8} $$ El cuadrado de cada ecuación en $(8)$ y restando $2$ rendimientos $$ \begin{align} x_1^4-4x_1^2+2&=x_2^2-2=x_3\\ x_2^4-4x_2^2+2&=x_3^2-2=x_1\\ x_3^4-4x_3^2+2&=x_1^2-2=x_2\\ \end{align}\etiqueta{9} $$ La adición de $(8)$, $(9)$, y $x_k=x_k$, obtenemos (mediante subíndices mod $3$) $$ x_k^4-3x_k^2+x_k=\overbrace{(x_k^4-4x_k+2)}^{x_{k-1}\text{ de }(9)}+\overbrace{(x_k^2-2)}^{x_{k+1}\text{ de }(8)}+x_k=x_1+x_2+x_3=0\etiqueta{10} $$

Desde $x_k\ne0$, la ecuación de $(10)$ dice que $x_k$ debe satisfacer $(1)$.

---

¿Por Qué Las Raíces De (1) Satisface (2)

Cualquier raíz de $x^3-3x+1=0$ también satisface $$ x^n=3x^{n-2} x^{n-3}\etiqueta{11} $$ Es decir, $a_n=x^n$ satisface $(2)$

Cualquier combinación lineal de soluciones a $(2)$ es también una solución a $(2)$. Por lo tanto, obtenemos que $$ a_n=c_1x_1^n+c_2x_2^n+c_3x_3^n\etiqueta{12} $$ es una solución de $(2)$ cualquier $c_k$. Es decir, $$ \begin{align} a_n &=c_1x_1^n+c_2x_2^n+c_3x_3^n\\ &=c_1(3x_1^{n-2}-x_1^{n-3})+c_2(3x_2^{n-2}-x_2^{n-3})+c_3(3x_3^{n-2}-x_3^{n-3})\\ &=3(c_1x_1^{n-2}+c_2x_2^{n-2}+c_3x_3^{n-2})-(c_1x_1^{n-3}+c_2x_2^{n-3}+c_3x_3^{n-3})\\ &=3a_{n-2}-a_{n-3}\tag{13} \end{align} $$

---

El último Dígito de la $a_{10^6}$

La fuerza bruta de cálculo muestra que el mod $10$, $a_n$ tiene un período de $434$. Desde $10^6\equiv64\pmod{434}$ y $a_{64}\equiv6\pmod{10}$, $a_{10^6}\equiv6\pmod{10}$. Desde $a_{10^6}=x_1^{10^6}+x_2^{10^6}+x_3^{10^6}\ge0$, el último dígito de la $a_{10^6}$$6$.

Answer 2

La observación sobre los ceros de $x^3 - 3 x + 1$ significa que: $$ 1 - \frac{12}{z} + \frac{8}{z^3} $$ ha $2 \cos \frac{2 \pi}{9}, 2 \cos \frac{4 \pi}{9}, 2 \cos \frac{8 \pi}{9}$ como la recíproca de sus ceros, lo que significa que la recurrencia: $$ a_{n + 3} - 12 a_{n + 2} + 8 a_n = 0 $$ tiene solución general: $$ a_n = c_1 2^n \cos^n \frac{2 \pi}{9} + c_2 2^n \cos^n \frac{4 \pi}{9} + c_3 2^n \cos^n \frac{8 \pi}{9} $$ A partir de la recurrencia es obvio que $a_n \in \mathbb{Z}$ todos los $n$ si $a_0, a_1, a_2 \in \mathbb{Z}$. Tendría que comprobar esos tres casos de los de arriba... en cualquier caso, $a_0 = 3$ es un número entero. Uno abajo, dos a ir.

Answer 3

Que $x_1=2\cos(\dfrac{2\pi}{9}),x_2=2\cos(\dfrac{4\pi}{9}),x_3=2\cos(\dfrac{8\pi}{9})$, y

$$\sigma_1=x_1+x_2+x_3=0\qquad \sigma_2=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-3 \qquad \sigma_3= x_1x_2x_3=-1$$

Que $a_k=x_1^k+x_2^k+x_3^k$, entonces, según identidades de Newton,

$$a_k=\sigma_1 a_{k-1}-\sigma_2 a_{k-2}+ \sigma_3 a_{k-3}=3a_{k-2}- a_{k-3}\qquad k\geq3$$

$a_1=0, a_2=\sigma_1^2-2\sigma_2=6, a_3= \sigma_1 a_2-\sigma_2 a_1+3\sigma_3=-3 $, so $a_n\in\Bbb Z$

En cuanto a $a_n\equiv b_n\pmod{10}$, es secuencia periódica.

$$b_4=-2, b_5=3,b_6=-3,b_7=1,b_8=-2,b_9=6,b_{10}=3, b_{11}=0,b_{12}=3,b_{13}=-3,\\ b_{14}=-1,b_{15}=-2,b_{16}=0,b_{17}=5,b_{18}=2,b_{19}=5, \\b_{20}=1,b_{21}=3,b_{22}=-2,b_{23}=-2, b_{24}=1,b_{25}=-4,b_{26}=5,b_{27}=-3,\\b_{28}=-1,b_{29}=-4,b_{30}=0,b_{31}=-1, b_{32}=4,b_{33}=-3,b_{34}=3,\\ b_{35}=-3, b_{36}=2,b_{37}=-2,b_{38}=-1, b_{39}=2,b_{40}=1,b_{41}=-3,b_{42}=1,b_{43}=0,\\b_{44}=-4,b_{45}=-1,b_{46}=-2,b_{47}=1,b_{48}=5,b_{49}=5,b_{50}=4,b_{51}=0, b_{52}=-3,\\b_{53}=-4,$$