Un problema relacionado con la distribución de Cauchy

Question

El siguiente problema es del libro "Introducción a la Probabilidad" de Hoel, Port y Stone. Mi respuesta no coincide con la que aparece al final del libro. ¿Qué he hecho mal?
Gracias,
Bob
Problema:
Sea $X$ tienen una densidad de Cauchy. Hallar el cuartil superior de $X$ .
Contesta:
Recordemos que la función de densidad para la distribución de Cauchy es: \begin{align*} f(x) &= \frac{1}{x^2+1} \\ \end{align*} Sea $a$ sea el número que buscamos. \begin{align*} F(x) &= \tan^{-1}{x} \\ \int_{-\infty}^{a} \frac{1}{x^2+1} \,\, dx &= \frac{3}{4} \\ \tan^{-1} \Big|_{-\infty}^{a} &= \frac{3}{4} \\ \tan^{-1}(a) - \frac{-\pi}{2} &= \frac{3}{4} \\ \tan^{-1}(a) + \frac{\pi}{2} &= \frac{3}{4} \\ \tan^{-1}(a) &= \frac{3}{4} - \frac{\pi}{2} \\ \end{align*} La respuesta de los libros es $1$ . ¿Qué he hecho mal?

He ejecutado el siguiente comando en R: pcauchy(1) . Por lo tanto, R devolvió 0,75, Creo que el libro es correcto.

Answer 1

Olvidaste el factor $\frac{1}{\pi}$ en la función de densidad de probabilidad. La función de densidad correcta es $$ f(x) =\frac{1}{\pi(1+x^2)} $$ para que $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx =1$ . Su problema es encontrar $a$ tal que $$ \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^a \frac{dx}{1+x^2}=\frac{\arctan a+\frac{\pi}{2}}{\pi}=\frac{3}{4} $$ o equivalentemente $$ \arctan a=\frac{\pi}{4}. $$ Esto da $a=\tan \frac{\pi}{4}=1$ .