He encontrado una buena discusión sobre el movimiento browniano en las conferencias de Feynman, reproducidas en línea aquí: https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_41.html
Feynman considera una partícula que experimenta un movimiento browniano, tratado en una dimensión en primera instancia, tal que la ecuación de movimiento (segunda ley de Newton) es $$ m \ddot{x} = F - \alpha \dot{x}, $$ donde $F$ es una fuerza que fluctúa rápidamente y $\alpha$ es un coeficiente de resistencia viscosa constante. (Utiliza la letra $\mu$ pero prefiero utilizar $\alpha$ porque $\mu$ se utiliza mucho para la movilidad). (También se denomina ecuación de Langevin). En un momento del argumento queremos saber el valor de $$ \left\langle \frac{d}{dt}(x \dot{x}) \right\rangle, \tag{1} $$ donde creo que la media es sobre todas las trayectorias que parten de un punto de partida dado y continúan durante un tiempo determinado $t$ . Feynman afirma que esta cantidad será cero, pero la razón que da no me convence del todo. Afirma
"Ahora $x$ veces la velocidad tiene una media que no cambia con el tiempo, porque cuando llega a alguna posición no tiene recuerdo de dónde estaba antes, así que las cosas ya no cambian con el tiempo. Así que esta cantidad, en promedio, es cero".
El problema es que la frase " $x$ veces la velocidad tiene una media que no cambia con el tiempo" es la afirmación $$ \frac{d}{dt} \langle x \dot{x} \rangle = 0. \tag{2} $$ Esta cantidad es efectivamente cero, pero no es evidente que sea igual a (1).
Dado (2), una forma de obtener (1) sería demostrar que $$ \frac{d}{dt} \langle x \dot{x} \rangle = \left\langle \frac{d}{dt} (x \dot{x}) \right\rangle . \tag{3} $$
Mi pregunta es ¿Es (3) fácil de demostrar (sin asumir (1))? (Si es así, por favor proporcione pruebas). ¿O hay alguna manera mejor de demostrar que la cantidad en (1) es igual a cero?
Para evitar respuestas que se limiten a afirmar que "se puede invertir el orden de integración y diferenciación", he aquí por qué eso no es la respuesta: $$ \frac{d}{dt} \langle x v \rangle = \frac{d}{dt} \iint x v f(x,v,t) dx dv $$ donde $f(x,v,t)$ es la función de densidad de probabilidad. Se obtiene $$ \frac{d}{dt} \langle x v \rangle = \iint \frac{d}{dt} \left( x v f \right ) dx dv \\ = \iint f \frac{d}{dt}(xv) + (xv) \frac{df}{dt} dx dv = \langle \frac{d}{dt}(xv) \rangle + \iint x v \frac{df}{dt} dx dv $$ por lo que o bien he confundido algo sobre la función de distribución, o bien hay que demostrar que el término extra es cero (teniendo en cuenta que $\langle x v \rangle$ no es cero).
