El operador hermitiano satisface: $\text{Ran}(A^2) = \text{Ran}(A)$ .

Question

Me encontré con una prueba con una referencia al hecho de que, $\text{Ran}(A^2) = \text{Ran}(A)$ cuando $A$ es un operador hermitiano, pero no existe ningún lema formal al respecto. Supongo que porque es sencillo, pero todavía no veo cómo. Así que, formalmente

Supongamos que $A: V \mapsto V$ es un operador hermitiano, es decir $\langle Av, w\rangle = \langle v, Aw \rangle, \forall v,w \in V$ . Entonces $\text{Ran}(A^2) = \text{Ran}(A)$ .

Lo que he hecho: Supongo que es algo parecido a lo siguiente. Sea $w \in \text{Ran}(A^2)$ .

$$\langle A^2v, w\rangle = \langle Av, Aw \rangle = \cdots = \langle Av, w\rangle ,$$

y concluimos $w \in \text{Ran}(A)$ . Pero no veo muy bien cómo llegar hasta ahí.

Answer 1

Supongamos que $y\in {\rm Im}(A)^\perp$ . Entonces $\langle y, A^2y\rangle=0$ Así que $\langle Ay, Ay\rangle=0$ y $Ay=0$ así que $y\in {\rm ker}(A)$ .

Así ${\rm Im}(A)^\perp\subseteq {\rm ker}(A)$ .

En $V={\rm Im}(A)\oplus{\rm Im}(A)^\perp$ tenemos que para cualquier $x\in V$ podemos escribir $x=Az+k$ con $k\in {\rm ker}(A) $ y $z\in V$ .

Así: $$Ax=A(Az+k)=A^2z.$$