Cálculo del orden de un elemento en teoría de grupos

Question

Calcular el orden de los elementos

a.) $(4,9)$ en $\mathbb{Z_{18}} \times \mathbb{Z_{18}}$

b.) $(8,6,4)$ en $\mathbb{Z_{18}} \times \mathbb{Z_{9}} \times \mathbb{Z_{8}} $

Tengo las soluciones dadas como

a.) $(4,9)^{18}= (0,0)$ así que el orden es 18

O

los órdenes de 4,9, en sus respectivos grupos son 9 y 2, por lo que el mínimo común múltiplo es 18

b.) $(8,6,4)^{18}=(0,0,0)$ por lo que el orden es $18$

O

las órdenes de $8,6,4$ en sus respectivos grupos son $9,17$ y $6$ cuyo mínimo común múltiplo es 18.

Así que como puedes ver tengo dos soluciones para cada pregunta, pero no entiendo cómo han llegado, digamos a $(8,6,4)^{18}=(0,0,0)$ por lo que el orden es $18$ o sobre los segundos estilos de solución, cómo han conseguido las órdenes de $8,6,4$ en sus respectivos grupos como $9,17$ y $6$ ?

Entiendo cómo han obtenido el mínimo común múltiplo, obviamente, pero no entiendo cómo han encontrado los órdenes de los elementos dados en sus respectivos grupos. ¿Podría alguien por favor explicar para que yo pueda empezar a entender este tema mejor. Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

El primer estilo de solución no es bueno. De hecho, en el primer caso, podemos decir $(x,y)^{18}=(0,0)$ pour todos $(x,y)\in\Bbb Z_{18}\times\Bbb Z_{18},$ pero ciertamente no podemos decir que el orden de cada elemento de $\Bbb Z_{18}\times\Bbb Z_{18}$ es $18.$ Este último enfoque es el que hay que seguir.

Ahora, para encontrar el orden de un elemento $m=1,2,3,\dots,n-1$ de $\Bbb Z_n,$ debe empezar por encontrar el mínimo común múltiplo de $m,n.$ Ese mínimo común múltiplo, dividido por $m,$ será el orden de $\Bbb m$ en $\Bbb Z_n.$ Alternativamente, divida $n$ por el máximo común divisor de $m,n.$ (Equivale a lo mismo.) El orden de $0$ en $\Bbb Z_n$ es $1.$

Answer 2

Creo que se trata de orden aditivo de elementos dados y por ejemplo $(4,9)^{18}$ se entiende como $18\cdot (4,9)=(18\cdot 4,18\cdot 9)$ que es en realidad $(0,0)$ en $\Bbb Z_{18}\times\Bbb Z_{18}$ . La cuestión es que no hay "poder" menor (más bien habría que llamarlo ' varios en el caso aditivo) de $(4,9)$ dará $(0,0)$ .

El orden (¡aditivo!) de $4$ es $\displaystyle\frac{18}{\gcd(4,18)}=9$ la de $9$ es $2$ (sólo hay dos múltiplos de $9$ en $\Bbb Z_{18}$ , $9$ y $0$ ). Así, cuando la primera coordenada $4+\dots+4$ se convierte en $0$ primero, tendremos $9$ piezas de $4$ pero al mismo tiempo, como $9$ es impar, la segunda coordenada será $9$ . Por lo tanto, el orden de $(4,9)$ en $\Bbb Z_{18}\times \Bbb Z_{18}$ es realmente $18$ .