De un teorema de la teoría de los polinomios ciclotómicos deduje que un polinomio especial $p(x)$ de grado par $n$ tiene la propiedad $$p(x)=p(ix)$$ con $i$ siendo la unidad compleja.
¿Qué se puede concluir de esto? Me interesa especialmente calcular la expansión de Taylor del polinomio. Lo que veo ya a partir del cálculo CAS es que sólo potencias pares de $x$ aparecen en el polinomio y espero que esto pueda deducirse de la propiedad de alguna manera.
Pero si desarrollo la serie Taylor alrededor $a=0$ Puedo "demostrar" que todos los coeficientes son cero...
Tal vez haya algún centro más complicado $a$ para hacer el desarrollo en torno a ?
Respuestas
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Hagen von Eitzen
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Si $p(ix)=p(x)$ entonces $p(-x)=p(x)$ también, es decir $p$ es par y puede escribirse como $p(x)=q(x^2)$ para un polinomio adecuado $q$ . Entonces $q(-x)=q(x)$ también, es decir $q$ es incluso para que en última instancia $p(x)=r(x^4)$ para un polinomio $r$ . A la inversa, para cualquier polinomio $r$ podemos definir $p(x)=r(x^4)$ y tienen $p(ix)=r((ix)^4)=r(x^4)=p(x)$ como desee.
Si $p(x) = p(ix)$ entonces $p^{(k)}(0) = i^k p^{(k)}(0)$ de lo que se deduce que $p^{(k)}(0) = 0$ a menos que $4 \mid k$ . Por lo tanto $p$ es de la forma $p(x) = \sum_k p_k x^{4k}$ .
Si $p$ tiene la forma $p(x) = \sum_k p_k x^{4k}$ vemos que $p(x) = p(ix)$ por lo que el conjunto de tales polinomios es $\operatorname{sp} \{ x \mapsto x^{4k}\}_{k=0}^\infty$ .
