¿Por qué los Estados superiores del ímpetu angular de un átomo de hidrógeno más cercanos al núcleo?

Question

Estaba mirando una parcela de hidrógeno funciones de onda radial $r^2|R_{nl}(r)|^2$, y me di cuenta que fija $n$, los Estados con menor $l$ eran "más lejos" del núcleo. Esto estuvo en conflicto con mi idea clásica de que la fuerza centrífuga debe empujar cosas con alto ímpetu angular hacia el exterior. Y de hecho, es el valor de la expectativa de $r$

$$\tag{1} \langle r\rangle = \frac{a_0}{2}(3n^2-l(l+1)).$$

Hay una razón física intuitiva ¿por qué baja $l$ Estados tienen mayor $\langle r \rangle$ y Estados superiores de $l$ % inferior $\langle r \rangle$?

Answer 1

Este es un truco poco de intuición para obtener el derecho. En esencia, tener un menor momento angular se expande el radial rango que el electrón está permitido span - el interior del punto de inflexión se mueve hacia adentro y afuera del punto de inflexión se mueve hacia el exterior, pero el electrón se mueve mucho más lento en el exterior punto de inflexión, lo que significa que se pasa más tiempo allí y por lo tanto que la región pesa mucho más en la $\langle r\rangle$ cálculo.

Para ver esto en detalle, considere la posibilidad de la hydrogenic wavefunctions en $n=6$ $l$ va de 0 a 5, y de la efectiva potenciales de $V_l(r)=-\tfrac1r+\tfrac{l(l+1)}{2r^2}$ que rigen el movimiento radial.

^{Hydrogenic wavefunctions $R_{nl}(r)$, que obedecen a $\tfrac12R_{nl}''(r)+\left[-\tfrac1r+\tfrac{l(l+1)}{2r^2}\right]R_{nl}(r)=-\tfrac1{2n^2}R_{nl}(r)$, normalizado a $\int_{-\infty}^\infty |R_{nl}(r)|^2\mathrm dr=1$. Código fuente en la revisión de la historia.}

Los puntos rojos indican los clásicos puntos de inflexión, en el que $$V_l(r)=-\frac1r+\frac{l(l+1)}{2r^2}=-\frac{1}{2n^2}=E_n,$$ y que marcan los puntos de inflexión de la función de onda. Nota, en particular, que como $l$ aumenta, tanto en el interior y el exterior de los puntos de inflexión se mueven en dirección a la órbita circular, el cierre de la gama disponible en $r$. Cualitativamente, se ve igual que el interior de punto de inflexión se mueve mucho más que el exterior, en particular, ya que gran parte de la dinámica de la $l=0$ función de onda que ocurre en ese rango.

Debe tener en cuenta, sin embargo, que en términos absolutos el exterior del punto de inflexión se mueve hacia adentro por la misma cantidad. Esto se siente un poco contradictorio: ¿por qué la adición de un afuera de la fuerza centrífuga restringir el exterior rango de $r$? La respuesta es que este cálculo se realiza constantes de energía, lo que significa que la adición de momento angular restringe la energía cinética disponible para el movimiento radial, por lo que el electrón no puede aventurarse tan lejos hacia el exterior de la posición de equilibrio.

El más importante efecto, sin embargo, es el tiempo invertido en el recién inaugurado regiones. Si ir de$l=5$$l=0$, usted abre una gama significativa en baja $r$ y una (bastante grande, pero suave) de la gama alta $r$. Aunque gran parte de la dinámica de la $l=0$ función de onda es de baja $r$, el potencial no es muy profundo bajo la eigenenergy, lo que significa que el electrón tiene una gran cantidad de energía cinética ahí, por lo que cubre el suelo rápido y gasta relativamente poco tiempo allí. En el largo superficial de la cola justo antes de que afuera del $l=0$ punto de inflexión, por otro lado, la energía cinética es pequeño, el electrón es lento, y el tiempo de permanencia en esa gama es grande.

Para hacer esto un poco menos handwavy, debo señalar que este tipo de argumento se puede dar matemático sustancia, en una interfaz intuitiva de un nivel como la aproximación WKB. De hecho, si usted aproximar la función de onda como una acción dependiente de la fase con una amplitud, como $\psi(x)=P(x)e^{iS(x)}$, el resultado semiclásica de amplitud $$ \psi(x)\approx \frac{\text{const}}{\sqrt[\leftroot{-2}\arrancar de raíz{2}4]{\frac{2m}{\manejadores^2}(V(x)-E)} }e^{\pm i\int\sqrt{\frac{2m}{\manejadores^2}(V(x)-E)}\:\mathrm dx} $$ directamente reproduce esta $\sqrt{\frac1v}=\sqrt{\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}}$ factor. Este fenómeno de mayor amplitud justo antes de los puntos de inflexión - es universal, y es evidente por ejemplo, en la armónica-oscilador wavefunctions.

Por último, una pequeña palabra de advertencia para que no se toma esto demasiado lejos. Mientras que la baja$l$ wavefunctions, de hecho, pasan la mayor parte de su tiempo en la mayor $r$ de la alto-$l$ electrones normalmente, son todavía los únicos electrones para pasar un tiempo considerable en el bajo-$r$ partes del átomo: mientras que en la alta-$l$ los electrones no ir a un extremo de la gran $r$ baja$l$, ellos definitivamente no aventurarse en cualquier lugar cerca del núcleo como la baja de$l$ electrones hacer. Esto tiene un efecto importante en múltiples electrones de los átomos, porque significa que la baja-$l$ los electrones experimentan menos blindaje de la central nuclear de la atracción por el interior de las conchas de alta-$l$ lo hacen, y esto tiene efectos directos sobre su energía. Así que no se deje engañar y mantener en los dedos de los pies aquí :).

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Una cosa más: también debo señalar que este efecto no es de ninguna manera exclusivo de la mecánica cuántica, y que en constante keplerian órbitas con menor ímpetu angular también vagan por una de mayor rango en $r$, también pasan más tiempo cerca de su apoapses de cerca sus periapses, y por lo tanto también gastan en promedio más tiempo en el mayor $r$s de menor angular momentum de las órbitas de voluntad. Yo iba a coincidir esto con un detalle clásico de cálculo, pero este post ya es lo suficientemente largo, de manera que el cálculo se deja como ejercicio para el lector interesado.

Answer 2

Emilio Pisanty ya ha dado una buena respuesta. Aquí ofrecemos una cualitativa (frente a la cuantitativa) constancia del momento angular de la dependencia.

1. Recordemos en primer lugar que la energía de los niveles $$\tag{2} E_n ~=~-\frac{R_{\mu}}{n^2}$$ en la no-relativista átomo de hidrógeno sin spin-órbita interacciones están vinculados al número cuántico principal $n\in\mathbb{N}$ donde $R_{\mu}$ es de Rydberg de energía para la reducción de la masa $\mu$.

2. OP es esencialmente pidiendo:

   Por lo que para los fijos de la energía, el medio de la radio $$\tag{2} \langle r \rangle~=~\frac{a_0}{2}\left[3n^2 -\ell (\ell+1)\right]$$ disminuye con el momento angular de $\ell$?

3. Una pregunta relacionada es:

   Por lo que para los fijos de la energía, el promedio de la inversa de la radio $$\tag{3} \langle \frac{1}{r} \rangle~=~\frac{1}{n^2a_0}$$ is independent of angular momentum $\ell$?

4. La fórmula (3) es clásicamente se explica a través del teorema del virial, que dice que el promedio de la energía potencial $$\tag{4} \langle V(r) \rangle~=~2E_n$$ es el doble de la energía total.

5. De manera intuitiva, explicar (2), nos reemplace el momento angular $\ell$ con la variable $$\tag{5} n_r ~:=~ n-\ell -1 ~\in\mathbb{N}_0. $$

6. A continuación, podemos reformular la pregunta del OP

   Por lo que para los fijos de la energía, el medio de la radio $$\tag{6} \langle r \rangle~=~n^2 a_0 \left[ 1+\frac{n_r +1/2}{n}- \frac{n_r(n_r+1)}{2n^2}\right]$$ aumenta con la $n_r$?

7. Ahora, consideremos la semiclásica límite de $n\gg 1$, de modo que podemos usar la clásica intuición para el orbital. El caso de $n_r=0$ corresponde entonces clásicamente para órbitas circulares. Tenga en cuenta que la nca. (3) y (6) están de acuerdo en la ingenua sentido clásico al $n_r=0$.

8. Aumentar el parámetro de $n_r$ se corresponde con el aumento de la longitud de la clásica accesible radial de la región de $[r_{-},r_{+}]$ entre los dos radial puntos de inflexión $r_{-}$$r_{+}$.

9. Desde la hipérbola $r\mapsto \frac{1}{r}$ es cóncava hacia arriba, si el intervalo de $[\frac{1}{r_{+}},\frac{1}{r_{-}}]$ se distribuye uniformemente alrededor de $\frac{1}{r_0}=\frac{1}{n^2a_0}$, cf. eq. (3), entonces el intervalo de $[r_{-},r_{+}]$ es distribuido desequilibrado alrededor de $r_0=n^2a_0$ hacia el más grande de los radios (en adecuada mecánica cuántica/sentido estadístico). Este efecto se explica cualitativamente el comportamiento (6) de incremento del promedio de radio.