Función continua e integración definida $\int_{1/2}^{2} \sin\left(x-\frac1x\right) \frac1x\ dx$

Question

$$I=\int_{1/2}^{2} \sin\left(x-\dfrac1x\right) \dfrac1x\ dx$$

Intenté ir con integeración por partes pero se hace demasiado grande y las potencias aumentan. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Sea $u = 1/x$ de modo que $du = -1/x^2 = -u^2 \, dx$ . Entonces (nótese que los límites no cambian) \begin{align} I &= \int_{1/2}^2 \sin\left(1-\frac{1}{x}\right)\frac{1}{x}\,dx = \int_{1/2}^2 \sin\left(\frac{1}{u}-u\right)u \cdot \frac{1}{u^2} \, du = -\int_{1/2}^2 \sin\left(u-\frac{1}{u}\right) \frac{1}{u}\, du = -I, \end{align} desde $x\mapsto\sin x$ es impar. Por lo tanto $I = 0$ .

Answer 2

Utilice la sustitución $u=\dfrac1x$ entonces $$I=\int_{1/2}^{2} \sin\left(x-\dfrac1x\right) \dfrac1x\ dx=-I$$