Sea $c:|z| = 3$ . El valor de la integral $\int_c\frac{z^2}{z^3-2}dz$

Question

Sea $c:|z| = 3$ . ¿Es el valor de la integral $\int_c\frac{z^2}{z^3-2}dz$ igual a $0,-i, i$ o $2i$ ?

Aquí veo que todos los polos están dentro del círculo dado. Así que el valor de la integral es $0$ . ¿Estoy en lo cierto? Si no es así, por favor ayúdeme.

Answer 1

Los polos deben estar fuera de del círculo para aplicar el teorema de la integral de Cauchy.

Defina $f(z)=\frac{z^2}{z^3-2}$ . Puede calcular el valor exacto de la integral con la función residuo en el infinito : \begin{eqnarray*} \operatorname{Res}f(z,\infty) & = & -\operatorname{Res}_{w=0}\frac{1}{w^2}f\left(\frac{1}{w} \right) \\ & = & -\operatorname{Res}_{w=0}\frac{1}{w^2}\frac{ \frac{1}{w^2}}{\frac{1}{w^3}-2} \\ & = & -\operatorname{Res}_{w=0}-\frac{1}{w^4}\frac{w^3}{2w^3-1}\\ & = & -\operatorname{Res}_{w=0}-\frac{1}{w(2w^3-1)}\\ & = & -1. \end{eqnarray*}

Podemos concluir $$\int_{z=\lvert 3\rvert}\frac{z^2}{z^3-2}\,\mathrm dz=-2\pi i\operatorname{Res}f(z,\infty)=2\pi i.$$