Si $F \rightarrow E \rightarrow B$ es una fibración de Serre, y conozco el complejo $K$ -teoría de dos de estos espacios, ¿qué puedo aprender sobre la $K$ -¿teoría de la tercera? Ojalá hubiera una secuencia espectral $$ K^i(B,K^j(F)) \implies K^{i+j}(E) $$ pero no lo parece. ¿Qué puedo hacer en su lugar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He aquí un par de posibles respuestas:
(1). Podrías seguir la sugerencia de Dylan sobre la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch para
$$H^{\ast}(B, K_{\ast}) \implies K^{\ast}(B)$$
y utiliza el hecho de que conoces la teoría K de $B$ para concluir algo sobre los diferenciales en esta secuencia espectral. A continuación, conecte esta información a la secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch-Serre para la fibración.
(2). No se puede utilizar (fácilmente) la secuencia espectral de Eilenberg-Moore
$$Tor_{K^{\ast} (B)} (K^{\ast} (E), K_{\ast}) \implies K^{\ast}(F),$$
ya que generalmente no convergerá (porque la teoría K no es conectiva). A mi entender, este de Tilman Bauer es el estado del arte en este tipo de cuestiones de convergencia.
(3). Esto dista bastante de la respuesta deseada, pero es demasiado tentador como para no compartirlo. En el caso de que $F =G$ es un grupo y $E \to B$ es un director $G$ -existe una secuencia espectral de barras
$$Tor_{K_{\ast}(G)} (K_{\ast} (E), K_{\ast}) \implies K_{\ast}(B),$$
al menos en el caso de que $K_{\ast}(G)$ es plano sobre $K_{\ast}$ ya que $B$ es la construcción de Borel para la acción de $G$ en $E$ (Cuando la suposición de planitud no se cumple, puedes conformarte con una construcción simplicial que intente ser el complejo de la barra; es decir, $K_{\ast}(G^{\times n} \times E)$ o reducir mod $p$ y hazlo de una en una). Por supuesto, para ello es necesario conocer $K_{\ast}(G)$ y cómo actúa sobre $K_{\ast}(E)$ pero puede tener un éxito fantástico cuando lo hace (véase, por ejemplo, Ravenel-Wilson's papel sobre las teorías K de Morava de los espacios de Eilenberg-MacLane).
