Multiplicadores de Lagrange: ¿Qué tipos de restricciones funcionan?

Question

Supongamos que para maximizar $x+y$ sujeto a $x^2+y^2=3$ . ¿Podemos utilizar para ello el multiplicador de Lagrange?

Parece que sí, ya que la condición de tangencia se cumple en este caso. En general, sólo he visto funciones en las que la restricción es un plano y la función objetivo es casi convexa. En este caso, la función es débilmente convexa, pero la restricción me resulta menos familiar.

Entonces, ¿para qué tipos de restricciones funciona Lagrange?

Answer 1

La regla de los multiplicadores de Lagrange se cumple en casi todas partes. Básicamente, la regla de los multiplicadores de Lagrange es válida siempre que las restricciones cumplan un requisito. En el caso general, las condiciones también se denominan condiciones de Karush-Kuhn-Tucker. Por ejemplo, siempre que se cumpla alguna de las condiciones de regularidad que aparecen en la página web de Wikipedia, también se cumplen las condiciones KKT, véase el apartado condiciones de regularidad en Wikipedia . En tu caso, todas las condiciones de regularidad son equivalentes (sólo una restricción activa). Básicamente, siempre que la restricción tenga una derivada distinta de cero, se cumplen las condiciones KKT. ¿Qué hacer cuando la derivada es cero? Una vez comprobados todos los puntos KKT, compruebe si existe un valor funcional menor que los demás asociado a una derivada cero de la restricción. Véase la discusión aquí . En tu caso, te adelanto que la derivada nunca desaparece en puntos factibles.