Evalúe $\int_0^1 \frac{dx}{e^x+e^{-x}}$

Question

$$\int_0^1 \frac{dx}{e^x+e^{-x}} = \int_0^1 \frac{dx\cdot e^x}{e^{2x}+1}$$

Aquí sustituiría $t = e^x$ pero el problema es que $t = e^x \implies \ln(t) = x$ para el que en $x = 0$ no está definido.

¿Cómo puedo resolver este problema de otra manera? Y por favor sin ninguna función especial(sí he visto que podría multiplicar por $2/2$ y entonces conseguiría $1/ch(x)$ Sin embargo, no debo resolverlo de esa manera)

Answer 1

$$ \int_0^1 g(e^x) \big( e^x\,dx\big) = \int_1^e g(t)\,dt $$ El número $0$ no aparece como uno de los límites en la segunda integral anterior. La variable $t$ no se acerca a $0$ en este caso.

Answer 2

$$\int_0^1 \frac{dx}{e^x+e^{-x}} = \int_0^1 \frac{e^x}{e^{2x}+1}\,dx$$

deje $m=e^x$ entonces $dm=e^x \, dx$

si $x=0 $ entonces $m=1$ y si $x=1$ entonces $m=e$

$$\int_0^1 \frac{ e^x}{e^{2x}+1}dx=\int_1^e \frac{1}{m^2+1}\,dm=\tan^{-1} m \Bigg|_1^e=\tan^{-1} e-\tan^{-1}{1}=\tan^{-1} e - \frac{\pi}{4}$$