Encontrar subgrupos de un grupo libre con un índice específico

Question

¿Cuántos subgrupos con índice dos hay de un grupo libre sobre dos generadores? ¿Cuáles son sus generadores?

Todo lo que sé es que los subgrupos deben tener $(2 \times 2) + 1 - 2 = 3$ generadores.

Answer 1

La respuesta de Mariano es bastante correcta, pero se basa en el "accidente" de que todos los subgrupos de índice dos son normales. Si quisieras encontrar todos los subgrupos del índice tres, por ejemplo, tendrías que probar otro enfoque. He aquí una idea.

El grupo libre de rango dos, $F$ es el grupo fundamental del grafo en forma de ocho $\Gamma$ que tiene un vértice y dos aristas. Se fija el vértice como punto base. Los subgrupos de índice $k$ corresponden, mediante la teoría de espacios de cobertura, a espacios de cobertura conectados $\widehat{\Gamma}\to\Gamma$ de grado $k$ con una elección de vértice base $\hat{v}\in\widehat{\Gamma}$ . (Si, por el contrario, sólo quisieras contar clases de conjugación de subgrupos, podrías olvidarte de $\hat{v}$ .) Dado que el mapa de cobertura $p:\widehat{\Gamma}\to\Gamma$ tiene grado $k$ el gráfico $\widehat{\Gamma}$ tiene exactamente $k$ vértices.

Decoremos el gráfico $\Gamma$ para que podamos ver $F=\langle a,b\rangle$ más claramente. Etiqueta cada arista con el generador correspondiente $a$ o $b$ . Además, orienta cada arista para indicar en qué dirección la rodea el generador.

Puede utilizar el mapa de cobertura $p$ para retirar las etiquetas y orientaciones de $\Gamma$ a $\widehat{\Gamma}$ . Es decir, si $\hat{e}$ es una arista de $\widehat{\Gamma}$ y $p(\hat{e})=e$ se etiqueta $a$ entonces debe etiquetar $\hat{e}$ con $a$ también, y orientar $\hat{e}$ para que $p$ envía la orientación en $\hat{e}$ a la orientación en $e$ .

Con un poco de reflexión, no es demasiado difícil ver que esta decoración sobre $\widehat{\Gamma}$ ---las etiquetas y la orientación--- bastan para reconstruir el mapa $p$ : te dicen dónde enviar cada arista, y sólo hay una opción de dónde enviar cada vértice. La afirmación de que $p$ es un mapa de cobertura se traduce en una buena condición en la decoración de $\widehat{\Gamma}$ para cada vértice $\hat{u}$ se ve exactamente una arista con etiqueta que entra en $\hat{u}$ y exactamente una arista con cada etiqueta que sale de $\hat{u}$ . Llamaré a esta condición "la condición de cobertura".

Esta discusión gira en torno al recuento de los subgrupos de índice $k$ en el problema combinatorio de contar los grafos conectados, decorados y basados $\widehat{\Gamma}$ con $k$ vértices que cumplen la condición de cobertura. Con un poco de reflexión, se puede escribir una fórmula para esto. Marshall Hall Jr hizo precisamente esto (aunque no creo que pensara en términos de los espacios de cobertura de los grafos) y llegó a la siguiente fórmula. Sea $N(k,r)$ sea el número de subgrupos de índice $k$ en el grupo libre de rango $r$ . Entonces

$N(k,r)=k(k!)^{r-1}-\sum_{i=1}^{k-1}((k-i)!)^{r-1}N(i,r)$ .

Para algunas cosas relacionadas, escribí una entrada en el blog sobre la demostración de teoremas sobre grupos libres pensando en espacios de cobertura de grafos aquí .

Alternativamente, si no te gustan los espacios de cobertura, un punto de vista equivalente es contar las acciones transitivas por grupos de permutación con $r$ generadores en conjuntos basados de tamaño $k$ . Resulta ser el mismo problema combinatorio.

Answer 2

Sea $F$ ser libre el $a$ y $b$ y que $N$ sea un subgrupo de índice $2$ . Entonces $N$ es normal, y existe un mapa $\phi:F\to\mathbb Z/2\mathbb Z$ con núcleo precisamente $N$ . ¿Cuáles son las posibles imágenes de $a$ y $b$ ? Para cada elección posible se pueden describir los correspondientes generadores de $N$ como subgrupo normal, y con un poco más de trabajo, generadores como subgrupo.

Answer 3

Me gusta abordar este tipo de problemas mediante gráficos. El grupo libre sobre dos generadores es el grupo fundamental de una cuña de dos círculos $R_2$ que yo imagino como un círculo rojo orientado y un círculo negro orientado. Un subgrupo de índice $ k$ corresponde a un mapa de cobertura $G\to R_2$ de índice $k$ . $G$ se puede imaginar como un (Edit: basepointed) $k$ -grafo conectado de vértices con aristas orientadas al rojo y al negro, de forma que en cada vértice hay una arista entrante y una saliente de cada color. En el caso $k=2$ no es difícil anotar todos esos gráficos. Yo mismo cuento tres.