Supongamos que un V.R. tiene función de distribución $F$ . Entonces creo que puedo escribir $$\int_{-\infty}^0|x|^tdF(x)=\int_{0}^{+\infty}y^tdF(-y).$$ Pero en serio, no sé cómo justificar rigurosamente esa fórmula. Sé que es una integral de Lebesgue-Stieljies y no he encontrado ninguna buena referencia sobre teoremas de cambio de variable para ella. Es decir, en este caso, puedo entender por qué se cumple, pero ¿y si hago un cambio de variable un poco más complicado, como por ejemplo $y=x^2$ . ¿Cuál será entonces la fórmula? Ni siquiera estoy seguro de poder maquetar todos los detalles para $y=-x$ en mi caso. Agradeceré cualquier consejo.
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Henry W
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Puede utilizar la regla de sustitución ( $(X,\Sigma)$ es un espacio medible, $\mu,\nu$ medidas sobre $(X,\Sigma)$ ) $$ \int f\,d\nu = \int f\frac{d\nu}{d\mu}\,d\mu $$ Si $\lambda_\phi$ es la medida de Lebesgue-Stieltjes asociada a $\phi$ , $$ \frac{d\lambda_\phi}{d\lambda} = \phi' $$ para que pueda sustituir $\frac{d\nu}{d\mu}$ por $\frac{d\lambda_\phi}{d\lambda} = \phi'$ e integrar con la medida de Lebesgue $\lambda$ .
Leon Katsnelson
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Sea $g(x) = -x$ , $f(x) = |x|^t 1_{[0,\infty)}(x)$ . Tenga en cuenta que $\int_{-\infty}^0|x|^tdF(x)=\int f \circ g \, dF$ .
Hay que tener cuidado con la definición. $dF(-y)$ .
Definir una medida $\nu(A) = F(g^{-1}(A))$ donde $F(A) = \int_A dF$ . Por lo tanto, si dejamos que $N(\alpha) = \nu((-\infty, \alpha]) = F([-\alpha, \infty)) = 1-F((-\infty, -\alpha)) = 1 - \lim_{t \uparrow -\alpha} F(t)$ (Supongo que $F$ es aquí una medida de probabilidad).
Entonces el teorema del cambio de variables (véase ¿Existe una fórmula de cambio de variables para una integral teórica que no utilice la medida de Lebesgue? por ejemplo) da $\int f \circ g dF = \int f d N$ .
