El producto de integrales de Lebesgue está acotado

Question

Intento mostrar lo siguiente: Si $f:[0,1] \to (0,\infty)$ es medible, entonces $$ \int_0^1 f(x) \,dx \int_0^1 \frac{1}{f(x)} \,dx1$$

Mi primera inclinación es usar algo como Fubini o Tonelli para convertir el producto en una integral única, pero no estoy seguro de poder aplicar ninguno de los dos teoremas aquí.

Answer 1

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos $$ 1=\left(\int_0^1 \frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{f(x)}}dx\right)^2\leqslant\left(\int_0^1f(x)dx\right)\left(\int_0^1\frac{dx}{f(x)}\right) $$