Norma del operador integral en $L^1(0,2)$

Question

¿Cómo demuestro exactamente que un operador integral está acotado? Por ejemplo, considere el siguiente operador

$$ T: L^1(0,2) \to L^1(0,2)\\ (Tf)(x):=\int_0^x tf(t) dt$$

Mi primera aproximación \begin{align} ||(Tf)(x)||_1 &= \int_0^2 |Tf| dx \\ &= \int_0^2 \left| \int_0^x tf(t) dt\right|dx \\ &\leq \int_0^2 \int_0^x |tf(t)| dtdx \\ &\leq \int_0^2 \left(\int_0^x |f(t)|dt\right)\left(\int_0^x |t| dt\right) dx \end{align}

donde para $x=2$ tenemos $||(Tf)(x)||_1\leq 4||f||_1$ .

¿le parece correcto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Esto no me parece correcto (y por correcto me refiero a "cierto y de probada veracidad"), aquí es donde tengo mis dudas:

• ¿Cómo sabes que $$\int_0^x |tf(t)|dt\leq \int_0^x|f(t)|dt\int_0^x|t|dt?$$ ¿Puede justificar esta desigualdad?
• Suponiendo que la desigualdad es correcta, ¿Cómo se llega de la última desigualdad a $||(Tf)(x)||_1\leq 4||f||_1$ ? ¿Qué quiere decir con "dónde $x=2$ "? La expresión que tienes a la derecha es NO en función de $x$ porque $x$ es la variable por la que se integra, por lo que no se puede decir simplemente $x=2$ ¡!