Si $a>b>0$ encuentre el valor mínimo de $a+\cfrac{1}{(a-b)b}$

Question

Si $a>b>0$ encuentre el valor mínimo de $a+\cfrac{1}{(a-b)b}$

No tengo ni idea de cómo simplificar la expresión $a+\cfrac{1}{(a-b)b}$ .

Mi libro da como pista reescribir la expresión dada para que haya un $a-b$ en un numerador ,que luego se puede cancelar con el denominador cuando se aplica AM-GM,sin embargo no veo como hacerlo.

Answer 1

Sea $a-b=c$ . Así que estamos buscando $b+c+\frac{1}{cb}$ . Por AM/GM esto es $\ge 3$ . El valor $3$ se alcanza cuando $b=c=1$ .

Observación: Si no queremos introducir $c$ podemos reescribir nuestra expresión como $(a-b)+b+\frac{1}{(a-b)b}$ . Esto parece menos natural.