Valores de $a$ para el que $|||x-1|-3|-a|=k$ Tiene 8 raíces reales distintas

Question

Pregunta

$|||x-1|-3|-a|=k$ , $a \in \mathbb{N}$ tiene 8 raíces reales distintas para algún $k$ entonces halle el número de tales valores de $a$ .

Mi pensamiento

Siento no poder mostrar ningún trabajo esta vez porque no entiendo cómo proceder. Por favor, oriénteme un poco.

Answer 1

Sea $y=|||x-1|-3|-a|$ Tener $y=k$ tienen 8 raíces distintas , es obvio que $y=0$ debe tener 4 raíces distintas.

Ahora comprueba la gráfica de $||x-1|-3|$ Sólo si $0\lt a\lt3$ cumple la condición anterior. Así que $a=1$ O $a=2$

Answer 2

Por supuesto, tenemos que asumir que $k \ge 0$ .

\begin{align} |||x-1|-3|-a| &= k \\ ||x-1|-3|-a &= \pm k \\ ||x-1|-3| &= a \pm k \\ |x-1|-3 &= \pm(a \pm k) \\ |x-1| &= 3 \pm(a \pm k) \\ x-1 &= \pm(3 \pm(a \pm k)) \\ x &= 1 \pm(3 \pm(a \pm k)) \\ \end{align}

Usted obtiene $x \in \left\{ \begin{matrix} 1+3+a+k,\\ 1+3+a-k,\\ 1+3-a+k,\\ 1+3-a-k,\\ 1-3+a+k,\\ 1-3+a-k,\\ 1-3-a+k,\\ 1-3-a-k\\ \end{matrix} \right\}$ que se simplifica en $x \in \left\{ \begin{matrix} 4+a+k,\\ 4+a-k,\\ 4-a+k,\\ 4-a-k,\\ -2+a+k,\\ -2+a-k,\\ -2-a+k,\\ -2-a-k\\ \end{matrix} \right\}$

Para las raíces únicas, es necesario encontrar cuando cualquier par de soluciones es igual y restringir $a$ en consecuencia.

Ser un poco libre y fácil con el $\pm$ s, $4\pm a\pm k = 4\pm a\pm k$ conduce a $a \not \in \{k, -k\}$ . Lo mismo ocurre con $-2\pm a\pm k = -2\pm a\pm k$ . En $16$ ecuaciones $4\pm a\pm k = -2\pm a\pm k$ conducen a $a \not \in \{k+3, k-3, -k+3, -k-3\}$ . Tampoco habrá ocho soluciones únicas cuando $k \in \{0, 3, -3\}$ .