Ideales comaximales en un anillo conmutativo

Question

Sea $R$ sea un anillo conmutativo y $I_1, \dots, I_n$ ideales comaximales pares en $R$ es decir, $I_i + I_j = R$ para $i \neq j$ . ¿Por qué los ideales $I_1^{n_1}, ... , I_r^{n_r}$ (para cualquier $n_1,...,n_r \in\mathbb N$ ) ¿también comaximal?

Answer 1

Como basta con demostrar que la afirmación es válida para cualquier ideal maximal dado, nos limitamos al caso sencillo de que nuestro anillo sea un campo.

(Véase Respuesta MO de Georges Elencwajg y los comentarios que la acompañan).

Answer 2

Esto se deduce por inducción del hecho más general: Si I + J = I + K = R, entonces I + JK = R. Esto se ve observando que (I+J)(I+K) está contenido en I + JK. (Basta con multiplicarlo).