Supongo que "grupo de clases de mapeo ampliado" significa $\pi_0 \text{Diff}(M)$ el conjunto de clases de isotopía de todos los difeomorfismos. (No he oído esta notación en mi vida.) Lo que tú llamas el grupo de clases de mapeo es lo que yo llamaría el grupo de clases de mapeo orientado $\pi_0 \text{Diff}^+(M)$ el conjunto de clases isotópicas de difeomorfismos que conservan la orientación. Seguiré utilizando esta notación estándar en lugar de la suya, escribiendo $MCG(M)$ y $MCG^+(M)$ respectivamente. En mi entrada anterior, escribí $MCG(M)$ en todas partes, pero lo que quería decir era $MCG^+(M)$ - Hice esa restricción al principio del post. Parece que esto es lo que ha causado la confusión de notación; lo siento.
Espero que lo que sigue te sirva para responder tú mismo a preguntas como ésta a partir de ahora (ya que no son demasiado difíciles).
Si $M$ es una variedad orientable, el conjunto $\text{Diff}(M)$ lleva un homomorfismo a $\Bbb Z/2$ (por si un mapa preserva o no la orientación), donde el núcleo es $\text{Diff}^+(M)$ . Mientras el mapa a $\Bbb Z/2$ es suryectiva, existe una secuencia exacta corta $$0 \to \text{Diff}^+(M) \to \text{Diff}(M) \to \Bbb Z/2 \to 0.$$ Para el mapa de $\Bbb Z/2$ sea suryectiva significa precisamente que $M$ lleva algún difeomorfismo de inversión de orientación. Si no, entonces $\text{Diff}^+(M) = \text{Diff}(M).$
Siempre que se tenga una sucesión exacta corta de grupos topológicos, se trata de una fibración, y se puede aplicar la sucesión exacta larga de grupos de homotopía de una fibración:
$$\cdots \to \pi_1(\Bbb Z/2) \to \pi_0 \text{Diff}^+(M) \to \pi_0 \text{Diff}(M) \to \Bbb Z/2 \to 0.$$ Por supuesto, $\pi_1 (\Bbb Z/2) = 0$ por lo que vemos que tenemos una secuencia exacta corta $$0 \to MCG^+(M) \to MCG(M) \to \Bbb Z/2 \to 0.$$
Es decir, el grupo de clases de mapeo completo es siempre una extensión de $\Bbb Z/2$ por el grupo de clases de mapeo orientado. Decidir cuál es la extensión suele ser bastante difícil.
Porque cada múltiple $S^p \times S^q$ tiene un difeomorfismo de inversión de orientación, vemos que sus grupos de clases de mapas orientados encajan en una extensión como la anterior. No siempre es trivial: existe una suryección $MCG(S^{2n+1} \times S^{2n+1}) \to GL_2 \Bbb Z$ dado por el mapa inducido sobre $H_{2n+1}$ . El grupo de clases de mapeo orientado a $SL_2 \Bbb Z$ y si la extensión $$0 \to MCG^+(S^{2n+1} \times S^{2n+1}) \to MCG(S^{2n+1} \times S^{2n+1}) \to \Bbb Z/2 \to 0$$ fuera trivial, entonces también lo sería la extensión $$1 \to SL_2 \Bbb Z \to GL_2 \Bbb Z \to \Bbb Z/2 \to 0.$$ Pero esta ampliación no es trivial.
