Geodésicas y trayectorias

Question

Soy un matemático que estudia los Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica de Arnold.

En la p. 83 se da la siguiente definición.

Sea $M$ sea una variedad diferenciable, $TM$ su haz tangente, y $L:TM \to \mathbf{R}$ una función diferenciable. Un mapa $\gamma: \mathbf{R} \to M$ se denomina movimiento en el sistema lagrangiano con la variedad de configuración $M$ y la función lagrangiana $L$ si $\gamma$ es un extremo de la función $\Phi(\gamma)=\int_{t_0}^{t_1}L(\gamma')dt$ , donde $\gamma'$ es el vector velocidad $\gamma'(t) \in TM_{\gamma(t)}$ .

(1) ¿Es correcto entonces que las geodésicas en $M$ (si $M$ es riemanniano) son sólo un caso especial de esta construcción?

(2) Espacios homogéneos, es decir, variedades de la forma $G/K$ donde $G$ es un grupo de Lie y $K$ un subgrupo cerrado, proporcionan ejemplos interesantes de colectores. ¿Cómo sería un sistema físico que tuviera $G/K$ como espacio de configuración? Recuerdo haber oído algo parecido a "global $G$ -invarianza, local $K$ -invarianza", pero no estoy seguro.

¿Y qué interpretación tienen entonces las geodésicas en este modelo?

Answer 1

1. Sí, las geodésicas se obtienen de esta forma si $L(\gamma')$ es la longitud propia del vector. Sin embargo, la construcción de Arnold no está pensada para describir sólo geodésicas, sino cualquier movimiento de partículas con cualquier espacio de configuración (con velocidades añadidas). El Lagrangiano no tiene que identificarse con una longitud propia en general, y para la mayoría de los sistemas en mecánica, no lo es.

2. Estos cocientes están omnipresentes en las teorías de supergravedad, entre otras. Por ejemplo, la supergravedad de 11 dimensiones compactada en un toro de 7 y reducida dimensionalmente es una teoría de 4 dimensiones conocida como $N=8$ , $d=4$ supergravedad con 133-63 = 70 escalares que abarcan la $E_{7(7)}/SU(8)$ coset. La interpretación global y local de los grupos es exactamente como sugieres: el $E_{7(7)}$ grupo excepcional en el numerador es una simetría global, mientras que el denominador, $SU(8)$ es una simetría local. Es porque se puede definir una acción de $E_{7(7)}$ en general $E_{7(7)}/SU(8)$ cociente (también es una simetría del resto de la teoría). Sin embargo, la mayoría de los generadores se rompen espontáneamente. Sólo los generadores de $SU(8)$ son inquebrantables: el estado de vacío es invariante bajo ellas, razón por la cual no se obtienen nuevos vacíos mediante $SU(8)$ transformaciones, por lo que no hay nuevos escalares que etiquetarían estas nuevas vacuas inexistentes. Por eso es cociente.

El resto de generadores de $E_{7(7)}(R)$ cambiar el vacío en supergravedad. Lo cambian por un "vacío diferente" cuya física es, sin embargo, completamente equivalente: es una simetría global. He añadido la etiqueta $R$ para enfatizar que es un grupo continuo. En la gravedad cuántica, sin embargo, las cargas eléctricas y magnéticas tienen que estar cuantizadas debido a la regla de cuantización de Dirac. Tienen que pertenecer a un entramado y el entramado se modifica bajo casi cualquier $E_{7(7)}(R)$ por lo que estas transformaciones convierten el vacío en un vacío físicamente distinto y $E_{7(7)}$ ya no es una simetría global. Sólo su subgrupo discreto de elementos que preservan la red, el $E_{7(7)}(Z)$ sigue siendo una simetría exacta de la teoría M en $T^7$ . También se conoce como grupo de dualidad U.

Bueno, tal vez, debería haber evitado la supergravedad. Bastaría con mencionar los bosones de Goldstone. Los escalares abarcan un $G/K$ espacio es $G$ es el grupo de simetría de la acción, mientras que $K$ es el subgrupo no roto. Por cada generador roto se obtiene un bosón, una coordenada que parametriza el cociente. La historia de la supergravedad era una variación innecesariamente avanzada del mismo tema.

Permítanme mencionar un sencillo ejemplo no trivial. Imaginemos que describimos la orientación de un objeto mediante un elemento de $SO(3)$ . Ahora, imaginemos que el objeto es un giroscopio axialmente simétrico que preserva la $SO(2)$ simetría. La "forma" real del giroscopio en el espacio no se verá afectada por esto. $SO(2)$ por lo que la orientación sólo vendrá dada por un elemento de $SO(3)/SO(2)$ que es isomorfa a una biesfera, $S^2$ .

Answer 2

(1) ¿Es correcto entonces que las geodésicas en M (si M es riemanniano) son sólo un caso especial de esta construcción?

Sí, es correcto decirlo. Demos una variedad riemanniana $M$ con una métrica $g_{ab}$ y una conexión afín $\Gamma^a_{bc}$ se pueden construir varios invariantes geométricos sobre $M$ como los tensores de Riemann y Ricci. Ahora, para una partícula puntual que se propaga en este estático es decir, sin tener en cuenta la Relatividad General, se podrían escribir varios Lagrangianos de la forma:

$$ L = \sqrt{|g|} ( K_m - V_m) $$

donde $|g|$ es el valor absoluto del determinante de $g_{ab}$ y $K_m$ y $V_m$ son términos cinéticos y potenciales respectivamente que dependen de la posición y velocidad de la partícula o más genéricamente es n-vector energía-momento $j^a$ . Un ejemplo genérico del término cinético en este caso es:

$$ K_m := \frac{1}{2} \left( \partial^a j_a \right)^2 + \frac{1}{2}(\partial^a j^b \partial_a j_b) $$

y $V_m$ es un polinomio en $j^a$ .

Si deseamos incorporar la dinámica de la propia multiplicidad (es decir, pasar al dominio de la RG), entonces nuestros Lagrangianos deben contener términos "cinéticos" y "potenciales" para las diversas invariantes geométricas. Sin embargo, estas cantidades carecen de una expresión sencilla para una variedad general y se incluyen en el escalar de Ricci:

$$ L = \sqrt{|g|}(K_m - V_m + \mathcal{R}) $$

donde el escalar de Ricci $\mathcal{R} = g^{ab}\mathcal{R}_{ab} = g^{ab}g^{cd} \mathcal{R}_{acdb} $ es la traza del tensor de Ricci, que a su vez es una traza parcial del tensor de Riemann.

Ahora bien, las geodésicas en una variedad riemanniana $M$ con una métrica $g_{ab}$ y una conexión afín $\Gamma^a_{bc}$ vienen dadas por las soluciones (curvas integrales) de la de la ecuación geodésica:

$$ v^a\nabla_a v^b = 0 $$

donde $v := v^a \partial/\partial_a $ es un campo vectorial en $M$ la derivada covariante viene dada en términos de la conexión afín $\nabla_a v_b = \partial_a v_b + \Gamma^c_{ab}v_c $ y los índices suben y bajan con la métrica $ v^a = g^{ab} v_b $ . Tu pregunta equivale a preguntar si existe un Lagrangiano $L(v^a)$ cuya ecuación de movimiento es esta ecuación geodésica. La respuesta es "sí". El siguiente Lagrangiano

$$ L = \sqrt{g^{ab} v_a v_b} $$

que no es otra cosa que la distancia propia a lo largo de la línea de la partícula, da lugar a la ecuación geodésica en la variación con respecto al tiempo $\delta v_a$ .

(2) Los espacios homogéneos, es decir, los manifolds de la forma G/K, donde G es un grupo de Lie y K un subgrupo cerrado, proporcionan ejemplos interesantes de manifolds. ¿Cómo sería un sistema físico que tuviera G/K como espacio de configuración? Recuerdo haber oído algo parecido a "invariancia global de G, invariancia local de K", pero no estoy seguro.

Un ejemplo de sistema físico con este espacio de configuración es la gravedad de MacDowell-Mansouri. Una referencia muy bien escrita al respecto es el artículo de revisión Gravedad de MacDowell-Mansouri y geometría de Cartan por Derek Wise, antiguo alumno de John Baez.

Allí se parte de un espaciotiempo de cinco dimensiones con grupo de simetría $G$ que puede ser deSitter, Anti-deSitter o Minkowski con un tensor antisimétrico con valor de álgebra de mentira $B$ y la curvatura de la conexión gauge $F$ . La acción es la de una teoría topológica BF dada por:

$$ S_{BF} = \int tr B \wedge F $$

Podemos identificar $B:= B_{\mu\nu}^{IJ}$ con el producto cuña de dos campos de fermiones: $ B^{IJ} = \psi^I \wedge \psi^J $ que se transforman en la representación fundamental del grupo gauge. Además, como en el caso del mecanismo BCS, supongamos que la dinámica del sistema contiene un término de cuatro fermiones que adquiere un vev (valor de expectativa de vacío) debido a la formación de un condensado de estos fermiones. Tal término resulta en la acción

$$ S'_{BF} = \int tr B \wedge F - \frac{G\Lambda}{6} B \wedge \star B $$

donde $\star B$ es el dual de Hodge de $B$ . $G$ y $\Lambda$ son la constante de Newton y la constante cosmológica, respectivamente. La formación del condensado puede describirse físicamente escribiendo la conexión gauge de cinco dimensiones de la siguiente forma:

$$ {}^5 A = \left( \begin{array}{cc} {}^4 A && \frac{1}{l}\{e^0,e^{i} \} \\ \frac{1}{l} \{ e^0, \epsilon e^i \} && 0 \end{array} \right) $$

donde ${}^4 A$ es una conexión de cuatro dimensiones y $\{e^0,e^{i}\}$ (donde $ i \in {1,2,3}$ ) es una vier-bien (tétrada). $\epsilon = \{-1,0,1\}$ para $G = \{ SO(4,1)$ (deSitter), $ISO(3,1)$ (Minkowski), $SO(3,2)$ (Anti-deSitter) $\}$ respectivamente. El grupo $H$ en cada caso es $SO(3,1)$ y la teoría resultante tiene grupo gauge $\{SO(4,1)/SO(3,1), ISO(3,1)/SO(3,1),SO(3,2)/SO(3,1)\}$ respectivamente.

La teoría resultante describe la relatividad general en cuatro dimensiones con la adición de términos topológicos como los términos de Nieh-Yan y Pontyargin en la acción. Para más detalles, véase el excelente artículo de Wise mencionado anteriormente y también el artículo seminal ( 1 ) de Friedel y Starodubstev, quienes propusieron por primera vez esta formulación del mecanismo de MacDowell-Mansouri.