Nuevo usuario aquí auto-estudiando algunas estadísticas matemáticas.
Tengo un problema que me ha estado atascando desde hace unos días. El problema es el siguiente:
Para $1 \leq i \leq n$ y dejando $X_1, ... , X_n$ sea una muestra aleatoria de un $N(\phi, 1)$ definimos $Y_i = 1$ si $X_i > 0$ y definimos $Y_i = 0$ si $X_i \leq 0$ . Además, dejamos que $\gamma(\phi) = P_{\phi}[Y_i = 1]$ .
(i) Hallar la MLE de $\hat{\gamma}$ de $\gamma$ basado en $X_1, ... , X_n$ y escribir la MLE en términos de la CDF de la distribución normal estándar.
(ii) Hallar una muestra grande aproximada $90$ % de intervalo de confianza para $\gamma$ basado en $X_1, ... , X_n$ .
Mis problemas son que estoy teniendo problemas para encontrar el MLE en la primera parte, y entonces no estoy seguro de cómo encontrar el intervalo de confianza para $\gamma$ basado en $X_1, ..., X_n$ .
Sé que en general para encontrar MLEs, se toma la articulación por lo que tiene su función de verosimilitud, $L(\phi, x)$ entonces, si es necesario, puedes tomar la función log-verosimilitud $\mathscr{L}(\phi | x) = ln(L(\phi | x))$ Toma esta derivada con respecto al parámetro de interés, y ponla igual a cero, luego resuelve para tu parámetro de interés y asegúrate de ponerle un pequeño sombrero al final para que sepas que es tu MLE.
Así que para este problema en particular, sé cómo es la función de probabilidad:
$L(\phi | x) = ({\frac{1}{2\pi}})^{-\frac{n}{2}}e^{\frac{-1}{2}\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \theta)^2}$ y la función log-verosimilitud resulta ser $\mathscr{L}(\phi|x) = \frac{n}{2}ln(2\pi) - \frac{1}{2}\Sigma_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} + \phi\Sigma_{i = 1}^{n}x_i - \frac{n}{2}\phi^2$ .
Pero a partir de aquí no sé qué hacer. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias por tomarse el tiempo para leer y considerar mi pregunta (s).
