Ayuda para la transformación lineal fraccionaria

Question

Me dan este problema de un examen pasado que estoy tratando de resolver, he tratado de encontrar el conjugado y yendo sobre el. Pero no estoy recibiendo la transformación correcta.

Por favor, ayuda.

Demuestre que una transformación lineal fraccionaria $f$ envía el semiplano superior

$$H:= \{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}(z) > 0 \}$$

a sí misma si y sólo si es de la forma

$$f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$$

donde $a, b, c, d$ son números reales y $ad-bc >0$ . Se puede suponer que dicha transformación también debe enviar $\hat{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\infty\ \} $ a sí misma.

Gracias

Answer 1

Una transformación lineal fraccionaria $f$ cartografía $H$ a sí mismo mapea $\bar{\mathbb R}$ a sí misma. Tomemos tres números reales cualesquiera $x_k$ tal que $y_k:=f(x_k)\in\Bbb R$ . A continuación, los datos $x_k$ , $y_k$ determine $a$ , $b$ , $c$ como números reales (hasta un factor común); además $ad-bc\ne0$ . Desde $f$ mapas $H$ a $H$ tiene que ser monotónicamente creciente en $\Bbb R$ Por lo tanto $$f'(x)={ad-bc\over (cx+d)^2}>0\ \qquad(x\in\Bbb R),$$ lo que a su vez implica $ad-bc>0$ . (También se podría discutir sobre ${\rm Im}f(i)$ que debería ser positivo).

Por el contrario, una función de la forma $f(z):={az+b\over cz+d}$ envía el eje real a sí mismo. Por lo tanto, asigna $H$ en $H$ o en $\bar H$ . Cuál de los dos sea el caso depende únicamente del signo de $ad-bc$ .