Tanto tú como tus antepasados estáis equivocados. Pero apuesto a que nunca adivinarías la verdadera respuesta.
Suponiendo que la base de la escalera no se deslice, tienes un sistema giratorio. Al igual que un hombre que cae libremente se convierte la energía potencial en energía cinética, pero para un sistema en rotación la energía cinética viene dada por:
$$ T = \frac{1}{2}I\omega^2 $$
donde $I$ es el momento angular y $\omega$ es la velocidad angular. Obsérvese que $v = r\omega$ donde $r$ es el radio (es decir, la longitud de la escalera). Lo necesitaremos en breve.
Empecemos por ignorar la masa de la escalera. En ese caso, el momento de inercia del sistema se debe únicamente al hombre y suponiendo que tratamos al hombre como una masa puntual $I = ml^2$ donde $m$ es la masa del hombre y $l$ la longitud de la escalera. Establecer el cambio de energía potencial $mgl$ igual a la energía cinética obtenemos:
$$ mgl = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}ml^2\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2 $$
donde obtenemos el último paso observando que $l\omega = v$ . Así que..:
$$ v^2 = 2gl $$
Este es exactamente el mismo resultado que obtenemos para el hombre que cae recto, por lo que golpea el suelo con la misma velocidad tanto si cae recto como si se agarra a la escalera.
Pero ahora incluyamos la masa de la escalera, $m_L$ . Esto se añade a la energía potencial porque el centro de gravedad de la escalera cae en $0.5l$ así que..:
$$ V = mgl + \frac{1}{2}m_Lgl $$
Ahora vamos a calcular la energía cinética. Como el hombre y la escalera giran a la misma velocidad angular obtenemos:
$$ T = \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}I_L\omega^2 $$
Para una varilla de masa $m$ y longitud $l$ el momento de inercia es:
$$ I_L = \frac{1}{3}m_Ll^2 $$
Así que igualemos la energía potencial y cinética, como antes sustituiremos por $I$ y $I_L$ y establece $\omega = v/l$ . Tenemos:
$$ mgl + \frac{1}{2}m_Lgl = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{6}m_Lv^2$$
y reordenando esto da:
$$ v^2 = 2gl \frac{m + \frac{1}{2}m_L}{m + \frac{1}{3}m_L} $$
y si $m_L \gt 0$ la parte superior de la fracción es mayor que la inferior, es decir, la velocidad es mayor que $2gl$ . Si te agarras a la escalera, caes al suelo más rápido que si te sueltas.
Esto parece contraintuitivo, pero se debe a que, por sí sola, la escalera giraría más rápido que el sistema combinado de usted y la escalera. En efecto, la escalera te acelera mientras tú y ella caéis. Por eso la velocidad final es mayor.
